Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Однако на практи-
+ с (т)] (t - т). (169)
(170)
о
184
2. Одномерные волны в жидкостях
ке появление члена у | и |2 не делает это условие сильно отличающимся от
условия непрерывности давления.
Аналогично, при возбуждении изменением объемного расхода на компактном
конце величина, для которой обеспечивается непрерывность, в нелинейной
теории представляет собой, строго говоря, массовый расход рАи, который,
согласно уравнению (4), имеет производную по х, равную -д(рA)ldt. Задание
рАи (причем рА является функцией ре, а соотношение (168) делает и
функцией ре) определяет ре (t) и приводит к тому же решению (169).
Возбуждение смещением поршня х = Н (t) задает скорость
жидкости и на поршне как и (t) = Н (t), откуда ре (t) выводится с помощью
(168) и с (f) с помощью (156). Тогда С+-сигнал, возникающий в точке х = Н
(т) в момент времени t = т, несущий избыточное давление ре (т) и
распространяющийся с постоянной скоростью и (т) + с (т), удовлетворяет
уравнению
х = Я (т) + [и (т) + с (т)] (t - т). (171)
Для такой трубы, которая, будучи ограничена поршнем,
не может вместить новую жидкость, интересно проверить, что наше решение
удовлетворяет закону сохранения массы. В фиксированное время t масса
жидкости между последовательными С+-сигналами (171), излученными во
времена т и т + йт, будет
р (т) А (т) [х (т) - х (т + сТт)], (172)
где р (т) и А (т) - плотность жидкости и площадь поперечно-
го сечения соответственно, связанные с избыточным давлением ре (т), а
расстояние между сигналами х (т) - х (т + d%) может быть получено
дифференцированием (171) по т. С учетом
равенства Н (т) = и (т) приращение массы (172) можно выразить в виде
р(т) А{т) с(т)йт - р(т) А(т) [du(т) dc(т)] (t - т) =
= - d { р (т) А (т) с (т) (t - т)} (173)
поскольку, согласно (168) и (156),
р Adu = (с)-1Ас7ре = cd(pA). (174)
Интегрирование (173) от т до t определяет р (т) А (т) с(т) (f-т) как
массу жидкости, заключенную между сигналом, испущенным во время т, и
поршнем, который испускает свой
2.9. Простые волны
185
текущий сигнал в момент времени t. Закон сохранения массы прекрасно
демонстрируется этим выражением, представляющим собой полную массу,
которую за время t - т пересекает С+-сигнал, движущийся с относительной
скоростью с (т) через жидкость, масса которой на единицу длины равна р
(т) А (т). Подстановка т = 0 (время испускания сигнала, несущего нулевое
возмущение) дает полную массу жидкости в волне во время t в виде р0A0c0t
при любом способе возбуждения. В случае открытого конца (169)
соответствующее вычисление требует отбрасывания члена Н (т) в (171) и
приводит к появлению в (172) добавочного члена р (т) А {%) и (т) dx,
интеграл от которого от 0 до t является добавочной массой, вводимой на
открытом конце.
Приведенные примеры показывают важность всех этих соотношений, которые
связывают различные переменные в простой волне. В частности, соотношение
(168) между и и ре определяет давление, которое противостоит заданному
движению поршня (или заданному объемному расходу жидкости, вводимой из
сжимающейся полости) и, наоборот, определяет направленный внутрь объемный
расход, сопровождающий изменения давления на открытом конце.
Соответствующие значения с снова определяют распространение сигналов.
Вычислим теперь эти соотношения явно в двух практически важных случаях.
Первым из них является случай плоских звуковых волн
в совершенном газе. Как было показано в разд. 1.2, для такого
газа (т. е. имеющего очень низкую плотность по сравнению с тем же
веществом в конденсированной фазе) при процессах, протекающих с
постоянной энтропией, справедливо уравнение
с2 = dp/dp = ур/р, (175)
где у = cplcv - отношение удельных теплоемкостей. В условиях, где у
сохраняется приблизительно постоянным (например, в одноатомном газе у =
5/3, тогда как в атмосферном воздухе у = 1,40 с точностью до двух
десятичных знаков при температурах, лежащих примерно между 100 К и 1000
К), уравнение (175) дает
(Р/Ро) = (р/Ро)\ (с/с0) = (p/po)(v~1>/2 (176)
если р р0, а с = с0 при р = р0. Из этого следует, что р р
р- |(рс)_1ф= J р_1сс/р = 2(с-с0)/(у -1). (177)
Ро Ро
186
2. Одномерные волны в жидкостях
Это простое линейное соотношение между Рис означает для совершенного газа
с постоянным у, что уравнение (168) для простой волны принимает вид
Для воздуха с у = 1,40 это означает увеличение скорости распространения
волны по отношению к жидкости, с, на одну пятую скорости жидкости и в
направлении распространения. Абсолютная скорость сигнала u + с, таким
образом, превосходит с0 на величину
которая для у = 1,40 на пять шестых обусловлена переносом за счет
собственного движения жидкости и на одну шестую увеличением скорости
распространения волны.
Соответствующие значения плотности и давления получаются из (176) такими:
Рис. 29, где изображены эти соотношения, показывает, что для больших
значений и/с0 избыточное давление, тормозящее движение поршня в
невозмущенный воздух, возрастает значительно быстрее, нежели
