Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
(полностью аналогичному уравнению (2) для вращающейся жидкости).
Уравнение количества движения жидкости при уравновешивании давлением
жидкости магнитного давления принимает вид
ро duldt = \i~xB0 дВ/дг. (32)
Из уравнений (31) и (32) следует, что каждая составляющая поля скоростей
(или магнитного поля) удовлетворяет уравнению
d2u/dt2 = (?2/(рр")) d2u/dz2, (33)
описывающему одномерное распространение в направлении оси z с
альвеновской скоростью волны, определяемой формулой (29).
536
Эпилог
Заметим, в частности, что не только поперечные составляющие скорости и
распространяются подобным образом. Очевидно, составляющая скорости и
вдоль силовых линий в солено-идальном движении непосредственно связана с
поперечными составляющими и поэтому подчиняется тому же закону
распространения.
Если источник излучения имеет фиксированную частоту со0, то уравнение
(33) служит особым случаем систем, рассмотренных в начале разд. 4.10.
Следовательно, поверхность волновых чисел S будет тогда парой
параллельных плоскостей. Любой такой случай, как там показано,
соответствует одномерному распространению волн вдоль направления,
перпендикулярного этим плоскостям. Таким образом, отсутствует обычное
уменьшение амплитуды при распространении волн в двух или трех измерениях.
Если диссипация энергии невелика, то такой тип распространения может
допускать сохранение значительной амплитуды на исключительно больших
расстояниях.
Искривленные силовые линии магнитного поля могут действовать опять же как
лучи в смысле разд. 4.5. Можно ожидать, что любое возмущение, характерное
волновое число которого мало по сравнению с их кривизной, будет
распространяться вдоль них.
Эти выводы важны, в частности, тем, что они побуждают тщательно изучить,
насколько эффекты, которыми мы пренебрегли выше, могут их изменить. Мы не
будем далее развивать сделанные ранее замечания о диссипативных процессах
(вязкости и в особенности электрическом сопротивлении), но укажем
некоторые конкурирующие недиссипативные эффекты.
В проведенном выше исследовании мы пренебрегли сжимаемостью. Однако почти
так же, как в разд. 3.1 и 4.2, можно сделать простую оценку: сжимаемостью
действительно можно пренебречь, если альвеновская скорость волны,
определяемая формулой (29), мала по сравнению со скоростью звука с".
Тогда изменения плотности за счет изменения давления жидкости должны
происходить слишком медленно, чтобы стало неверным предположение о
соленоидалыюсти поля скоростей.
Для газа (например, верхних слоев атмосферы, известных как ионосфера и
обладающих электропроводностью из-за фотоионизации) альвеновская скорость
волны (29) может быть малой по сравнению со скоростью звука (ур0/ро)1/2
тогда и только тогда, когда магнитное давление (1/2) р. В\ мало по
сравнению с давлением газа р0. Величина магнитного поля Земли В0 имеет
типичное значение около 5-10~5 Тл в средних геомагнитных широтах (здесь
Тл - тесла, единица напряженности в системе СИ, равная 104 гаусс; заметим
также, что проницаемость р
Часть 1. Различные типы волн в жидкостях
537
принимает характерное для вакуума значение 1,26-10~в Тл2-•Н-1-м2).
Получающееся магнитное давление, 10 ~3 Н/м2 или 10~8 бар, мало по
сравнению с давлением газа в нижних слоях ионосферы, известных как
область D и расположенных на высоте от 80 до 100 км. С другой стороны,
давление газа сравнимо-с величиной 10~8 бар в области Е (высоты около 130
км), тогда как в области F (выше 180 км) давление газа много меньше
магнитного давления.
Поэтому может быть очень интересным исследование совместного
распространения альвеновских и звуковых волн как в случае, когда сд и с0
сравнимы, так и в случае, когда альве-новская скорость намного
превосходит скорость звука. В таком исследовании используются
линеаризованные уравнения неразрывности и количества движения для
сжимаемой жидкости вместе с линеаризованным представлением
ц-ЧВо-VB -V(B".B)] (34)
магнитной силы (28) и уравнением (31) для скорости изменения В. Мы
опустим подробности и дадим только выводы.
Уравнение для параллельной силовым линиям магнитного поля составляющей
скорости w имеет решение в виде плоской волны:
w = Wi ехр [i (соt - kx - ly - mz), (35)
где
/с2 l2 = (со2 - срп2) (со2 - с\т2) [(с2 + с\) со2 -
- с2Сднг2]-1. (36)
Уравнения для составляющих скорости (и, v), перпендикулярных силовым
линиям, более сложны, но они упрощаются, если ограничиться двумерными
операциями дивергенции и ротора для этого двумерного поля скоростей:
Ац = ди/дхdv/dy и ?in = dv/dx - ди/ду. (37)
Величины Ац и Яп единственным образом определяют поле скоростей (и, v),
стремящееся к нулю на больших расстояниях. Из двух величин (37) Ап
удовлетворяет соотношению
Ац = 1 (т - со2с~2т~1) wl ехр [i (соt - kx - ly - mz)], (38)
так что ее изменения связаны с изменениями dwldz (в действительности
прямо пропорциональны им). Напротив, удовлетворяет независимому уравнению
d2Qu!dt2 = c2Ad2Qu/dz2. (39)
Уравнение (39) означает, что z-составляющая завихренности Gji
