Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лайтхилл Дж. -> "Волны в жидкостях" -> 221

Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.

Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях — М.: Мир, 1981. — 603 c.
Скачать (прямая ссылка): volnivjitkosytyah1981.djvu
Предыдущая << 1 .. 215 216 217 218 219 220 < 221 > 222 223 224 225 226 227 .. 242 >> Следующая

от qn и их производных по времени qn, но также и от q'n - их производных
по пространственной переменной.
Как и в классической механике, потенциальная энергия
не должна зависеть от обобщенных скоростей qn, тогда как кинетическая
энергия является однородной функцией второго порядка от этих скоростей.
Это означает, что кинетическая энергия на единицу длины всегда может быть
записана в виде
Теперь принцип Гамильтона требует, чтобы интеграл
был стационарен при малых вариациях qn(t, х), обращающихся в нуль в
граничных точках t = t1: t2 и х = хх, х2. Так как здесь L - лагранжиан на
единицу длины, то это выражение, как и выражение (53), является
интегралом по времени от лагранжиана.
Для применения теории к исследованию периодических волн иногда бывает
удобно взять интеграл (56) по одному периоду и по одной длине волны.
Можно показать, что в этом случае вариационный принцип продолжает
оставаться справедливым, если на вариации qn просто наложить требование
быть периодическими с этими же периодом и длиной волны. Таким образом, из
всех волновых движений с данными периодом и длиной волны в
действительности осуществляется движение с таким волновым профилем, для
которого интеграл (56), взятый по длине волны, стационарен. Это то же
самое, что сказать: средняя плотность лагранжиана X (усреднение
проводится по длине волны) стационарна.
В чисто линейной теории это может означать только то, что X равно нулю.
Действительно, все энергии являются в линейной теории в точности
квадратичными функциями от всех параметров возмущения. Следовательно,
если каждое из qn заменить на (1 + е) qn (особенно простая малая
вариация), то X заменится на (1 г)2Х. Это изменение может быть нулевым
только тогда, когда X сама равно нулю; это знакомый по линейной теории
результат: средние значения потенциальной и кинетической энергий равны.
Заметим, что, нелинейная теория может предсказать единственную волну с
данной длиной 'к и периодом Ус. Например,
Y qn dL/dqn
(55)
(56)
11 X,
Часть 2. Нелинейные эффекты
54"
рис. 113 означает, что при заданной К выбор с (в определенных пределах)
фиксирует амплитуду, а следовательно, и форму волны. Однако энергии в
нелинейной теории могут зависеть и от вторых, и от более высоких степеней
координат. В соответствии с этим требование равенства нулю стационарного
значения X отсутствует.
Для периодической волны все обобщенные координаты должны иметь вид
<1п = /п Ы - кх), (57)
где, как обычно,
к = 2п/к, со = 2пс/к. (58)
Тогда величина, стационарная для реального волнового профиля, может быть
записана в виде

X (со, /с) = (2я)-1 ^ L(fn(a), wf'n(a), -kf'n(a))da, (59)
о
т. е. как среднее от лагранжиана (54) по фазе а~ а>t - кх.
Теперь мы можем определить величину, которая имеет большое значение в
теории диспергирующих волн - плотность действия
А = дХ/ды. (60)
Она является скоростью изменения плотности лагранжиана с частотой при
постоянном волновом числе. Когда величина (60) вычисляется с
использованием выражения (59) для X,
нет необходимости учитывать малые изменения волнового
профиля fn (а), которые сопровождают малые изменения со, так как X
стационарна по отношению к любым малым возмущениям волнового профиля!
Таким образом, мы можем вычислить величину (60) для фиксированной fn (а)
по формуле

дХ/ды = (2л)-1 | fn (а) (dLjdqn) da. (61)
о
В силу этого ыдХ/доз становится средним от qndL!dqn, что по формуле (55)
равно 2WK - удвоенной средней кинетической энергии на единицу длины.
Плотность действия А может быть соответственно записана в виде
А = дХ!д со = 2П/к(r)"1- (62)
И только лишь для линейных систем это выражение принимает вид Wсо-1
(плотность полной энергии волны, деленная на частоту), указанный5 в разд.
4.6.
550
Эпилог
Когда описанная выше теория применяется к случаю волн с длинными гребнями
на воде, все энергии определяются на единицу длины гребня, так что
введенные выше энергии, отнесенные к единице длины, становятся
плотностями энергии на единицу площади горизонтальной поверхности. Тогда
для волн с данной длиной равенство (62) количественно определяет,
насколько возрастает избыток X кинетической энергии над потенциальной,
когда со увеличивается по сравнению с ее значением (qk)i/2, даваемым
линейной теорией:
СО
1ТК -1ТР = ,? = j 2Шк(,гЧа. (63)
{gh)1!2
Правильность вычислений, на основе которых построены рис. 113 и 114, была
подтверждена тем обстоятельством, что результаты удовлетворяли
соотношению (63) с точностью до большого числа значащих цифр.
Одно из преимуществ линейной теории состоит в том, что она приводит к
полезным тождествам, подобным (63); позже мы найдем также выражение для
потока энергии волны I. Однако еще большее преимущество - то, что она
позволяет расширить саму теорию дисперсионных процессов так, чтобы
включить в нее нелинейные эффекты.
Вкратце покажем, как это делается, для случая простого исследования
(разд. 3.6) развития во времени протяженной группы волн,
Предыдущая << 1 .. 215 216 217 218 219 220 < 221 > 222 223 224 225 226 227 .. 242 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed