Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
оз = Nm, когда, согласно этому приближению, ft (гг - z2) меняется от 2,9
до оо.
Наоборот, показать, что использованный в упражнении 3 метод, пригодный
для малых значений ft (zt - z2), дает
оз2 = yiV^ft (Zl- z2) [l -ft (zi - z2) j .
Это приближение подходит для использования в дополнительном интервале
значений к (zt - z2) между 0 и 2,9, где, согласно этому приближению, со
меняется от 0 до 0,48 Nm.
Показать, наконец, что при частотах со, для которых "волнообразная" мода
п = 0 имеет волновое число ft, точно определяемое исцеленной лучевой
теорией, варикозная мода п = 1 имеет втрое большее волновое число.
524
Упражнения к главе 4
10. Горизонтальный цилиндр с осью в направлении у движется в жидкости с
постоянной частотой Вяйсяля - Брента N, имея постоянную скорость V в
направлении, определяемом единичным вектором (sin ф, 0, cos г])), где 0 <
ф < л/2. Найти соответствующую кривую волновых чисел. Показать, что ее
две ветви асимптотически приближаются к прямым
V (k sin -ф m cos ф) = ±ЛГ cos ф
при больших значениях к или т. (либо положительных, либо отрицательных),
а также что они касаются оси т. в начале координат. Нарисовать кривую
волновых чисел хотя бы для одного значения ф и указать стрелками,в каком
направлении должны находиться волны с различными волновыми числами.
Доказать, наконец, что координаты (х, z) точек на любой поверхности
постоянной фазы имеют вид х = CV^N (cos 0 sin ф -f- cos ф sin 0 tg2 0), z
= CF_1iV [cos (0 + ф) + 2cos ф sin 0 tg 0],
где С - постоянная, a 0 - параметр (определяемый в действительности
обычным уравнением т= -к tg 0).
[Стивенсон вывел эти уравнения и построил точки (х, z) для трех
фиксированных значений ф (45°, 70° и 80 ) при переменном 0, в каждом
случае получив прекрасное согласование с экспериментально наблюдавшимися
им формами поверхностей постоянной фазы.]
И. Найти квазиодномерные "волноводные" моды распространения волн в воде,
заполняющей канал постоянной ширины b (с вертикальными стенками) и
глубины, превышающей Ь. Определить фазовую и групповую скорости для
каждой из них.
Твердое тело, симметричное относительно центральной плоскости канала,
может вращаться вокруг вертикальной оси в этой центральной плоскости. В
момент t = 0 оно начинает совершать вращательные колебания с частотой со
и малой амплитудой относительно указанной вертикальной оси.
Показать, что колебания с частотой <в могут впервые достичь некоторого
большого расстояния I от тела в момент времени, приближенно равный
f = 2cog-1Z (1 - n2g2b-2co-4)-1/2,
если со > (ng)1f2b~1/2, или, в противном случае, не достигнут его совсем.
12. Акустический волновод с жесткими'стенками имеет постоянное поперечное
сечение в форме квадрата 0 < у < Ь, 0 < z < Ь. Мембрана громкоговорителя
в точке (0, (1/2) Ь, 0) возбуждает своими колебаниями флуктуирующий
объемный расход
т1 ехр (гcot).
Мембрана компактна (мала по сравнению с с/со). Показать, что величина FMN
(к), определенная согласно (481), принимает независимое от к значение
== (2д')-* icopocnj cos (/Пл/2)
для всех волновых чисел, которые может возбуждать мембрана. Определить
отсюда флуктуации давления, порождаемые как для
Упражнения к главе 4
525
больших положительных, так и для больших отрицательных значений х.
Аналогичная диафрагма расположена теперь в точке (I, (1/2) Ъ, 0). Она
порождает своими колебаниями флуктуирующий объемный расход
т2 ехр (icoi).
Показать, что специальный выбор отношения приведет к тому,
что флуктуации давления обратятся в нуль при больших положительных х
(появляясь на самом деле только при больших отрицательных х) для всех
частот вплоть до некоторого предела, который нужно определить.
В целях увеличения диапазона частот, для которых громкоговорители
порождают звук только в направлении отрицательных х, в точке (0, (1/2) Ь,
Ь) устанавливается другая аналогичная мембрана, порождающая объемный
расход т1 ехр (гой), в то время как в точке (I, (1/2) Ь, Ь) находится еще
одна мембрана, порождающая объемный расход т2 ехр (tot). Показать, что
при больших положительных х флуктуации давления исчезают теперь для всех
частот вплоть до значения, вдвое превышающего предыдущий предел.
Эпилог
Часть I. Различные типы волн в жидкостях
В гл. 4 мы описали несколько важных понятий и методов, которые могут
применяться для изучения любой системы волн, описываемой линейными
уравнениями, даже если она является анизотропной и диспергирующей. Мы
также основательно исследовали одну такую систему - систему внутренних
гравитационных волн в стратифицированной жидкости.
Объем этой книги, как объяснялось в прологе, не позволяет провести
подобное основательное рассмотрение всех систем волн в жидкостях. Однако
он позволяет очень кратко описать в этой части эпилога различные типы
анизотропных и диспергирующих систем волн и указать, как они могут быть
исследованы методами гл. 4. Аналогичное краткое описание некоторых важных
нелинейных эффектов в диспергирующих системах см. в части 2.
