Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
анализа всегда можно ожидать полезных результатов.
В этой части 2 настоящего эпилога мы продолжим рассмотрение трех
вопросов, подсказанных предыдущим обсуждением. Во-первых, мы остановимся
на таком явлении, как гравитационные волны на глубокой воде, для которых
линейный анализ (разд. 3.2) относительно прост и предсказывает высокую
степень дисперсии. Мы в общих чертах прикинем, насколько сильно свойства
этих волн могут быть изменены существенными нелинейными эффектами,
сопровождающими большие возмущения поверхности воды.
Во-вторых, мы рассмотрим волны, для которых характерна малая степень
дисперсии, вроде "весьма длинных" волн на
Часть Z. Нелинейные эффекты
543
воде. Это волны, длина которых А только немного не достигает таких
значений (превышающих в 20 раз глубину воды), когда дисперсией можно
пренебречь совсем. Как мы увидим, для "весьма длинных" волн влияние малых
нелинейных эффектов и влияние малой дисперсии могут почти уравновешивать
друг Друга.
В-третьих, мы очень кратко опишем подход к исследованию статистического
ансамбля диспергирующих волн. Главным образом мы будем стремиться
показать, почему некоторые свойства такого ансамбля могут быть проще, чем
свойства его недиспергирующих аналогов, в том числе турбулентного
течения.
Изложению придает единство использование понятия волнового действия,
которое, как впервые показал Дж. Б. Уизем, имеет общую значимость для
нелинейных диспергирующих волн. Исследование хода трубок лучей при ветре
(разд. 4.6) уже подтвердило важность понятия волнового действия для
ограниченной совокупности линейных систем, однако мы обнаружим, что оно
имеет намного более широкую значимость.
Линейная теория предсказывает, что в случае гравитационных волн на
глубокой воде периодическая волна длины А по форме является в точности
синусоидальной и движется со скоростью
с = (gk/( 2jt))V*. (43)
Мы начнем с вопроса: возможно ли существование периодических волн с
длиной А, если их амплитуды настолько велики, что пренебрегать квадратами
и более высокими степенями возмущений больше нельзя.
Следует ожидать, что существование таких периодических волн возможно
(хотя они не обязаны быть точно синусоидальными и хотя их скорость с не
обязана точно удовлетворять соотношению (43)) по следующей причине.
Предположим, что большое цилиндрическое препятствие движется в
горизонтальном положении в глубокой воде со скоростью V, направленной
перпендикулярно его оси. Тогда оно должно испытывать волновое
сопротивление, даже если линейное исследование этого сопротивления (разд.
3.9) не является точным. Таким образом, мы ожидаем, что энергию уносят
гравитационные волны позади цилиндра. С другой стороны, относительно
цилиндра течение должно быть стационарным, иметь скорость V и обтекать
покоящееся препятствие; все гребни волн в нем должны быть неподвижны.
Следовательно, эти гребни должны двигаться вперед по отношению к
невозмущенной воде с одной и той же скоростью волны
с = V; (44)
544
Эпилог
это условие имеет ту же форму, что и в линейной теории {разд. 3.9).
Заметим также, что если W - энергия волны на единицу площади
горизонтальной поверхности, а I - поток энергии в волне на единицу длины
гребня *), то выражение
cW - I (45)
представляет собой поток энергии, переносимой назад по отношению к
цилиндру, движущемуся вперед со скоростью с = V. Выражение (45)
представляет собой мощность волнового сопротивления на единицу длины
цилиндра (который предполагается достаточно большим и, стало быть,
порождает только гравитационные волны). Если пренебречь затуханием
энергии, то можно ожидать, что волны позади цилиндра имеют постоянную
амплитуду, так что поток энергии (45) постоянен. Таким образом, они
должны быть периодическими волнами, длина и амплитуда которых
определяется величиной (44) для скорости волны и величиной (45) для
потока энергии, переносимой назад по отношению к гребням.
Такая картина была с успехом использована при вычислении параметров
периодических волн, рассчитываемых как стационарное течение в системе
отсчета, в которой гребни неподвижны. Тогда потенциал скорости <р
удовлетворяет даваемому уравнением Бернулли условию на свободной
поверхности
-j (ду/дх)2 + y(dcp/dz)2-f g? = const при z = ?. (46)
Движение на больших глубинах является равномерным движением со скоростью
с по отношению к гребням, что дает
ср ~ сх при z --оо. (47)
Введение функции тока ф, такой, что уравнение свободной
поверхности принимает вид ф = О, упрощает решение. Представление
оо
2 = с-1 ф- 2 bne2nn^lcX sin (2штф/сА.),
V (48)
z = с-1ф + 2 Ьпе2пл^/сК cos (2ппц>/сХ),
71=1
в котором х и z записаны в виде рядов Фурье по ф, удовлетворяющих
уравнению Лапласа как функции от ф и ф, соответствует волнам длины X (так
что период по ф составляет сХ).
*) В линейной теории разд. 3.9 величина I равна UW, где U - групповая
скорость.
Часть 2. Нелинейные эффекты
545
0,08
0,06
0,04
0,02
0,1
0,2
0,3
0,4
ка
Рис. 113. Периодические гравитационные волны большой амплитуды
