Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Здесь обсуждаются такие волновые системы, в которых распространение
возмущений определяется действием возвращающей силы, принадлежащей к
одному из двух типов, ранее в этой книге не рассматриваемых: силы
Кориолиса для вращающейся жидкости и магнитных сил для электропроводной
жидкости. Оба типа систем имеют одну общую интересную особенность: их
свойства могут быть поняты в рамках представления о силовых линиях поля,
движущихся вместе с жидкостью.
В курсах по динамике однородной жидкости показывается, что вихревые линии
движутся вместе с жидкостью (если не считать некоторой диффузии
завихренности, обусловленной вязкостью). Существует аналогичный
результат, состоящий в том, что магнитные силовые линии движутся вместе с
жидкостью (если не считать некоторой диффузии магнитного поля,
обусловленной электрическим сопротивлением). В обоих случаях
распространение зависит от движений жидкости в волне, которые деформируют
или невозмущенные параллельные вихре-
Часть 1. Различные типы волн в жидкостях
527
вые линии во вращающейся жидкости, или невозмущенные магнитные силовые
линии в проводящей жидкости.
Другая общая черта двух систем состоит в том, что, хотя возможность
лабораторного воспроизведения таких волновых движений ограниченна, их
первостепенная важность связана с геофизикой. В особенности это относится
к влиянию вращения Земли на океанические и атмосферные течения и к
влиянию ее магнитного поля на движения в ионосфере и в жидкометаллическом
ядре Земли.
Поле завихренности Q в равномерно вращающейся жидкости принимает
постоянное значение
равное удвоенной угловой скорости вращения (здесь считается, что вращение
происходит относительно оси z). Если пренебречь вязкой диссипацией, то в
случае однородной жидкости вихревые линии движутся вместе с жидкостью.
Это означает, что любое малое поле скоростей и (отсчитываемых
относительно равномерного вращения) вызывает изменение вихря со скоростью
пропорциональной скорости изменения и вдоль вихревой линии.
Более общепринятый способ вывода фундаментального уравнения (2) для поля
скорости - это применение операции rot к линеаризованному уравнению
количества движения
Здесь ре - распределение любого давления, избыточного по отношению к
тому, которое необходимо для противодействия центробежным силам в
равномерно вращающейся жидкости, а последний член - сила Кориолиса,
связанная с любым движением со скоростью и относительно этого
равномерного вращения.
После того как уравнение (2) выведено каким-либо из этих способов,
дисперсионное соотношение для волн во вращающейся жидкости находится в
результате повторного применения операторов, содержащихся в левой части
уравнения (2). Так как для соленоидального векторного поля и
Q0 = (О, О, О0),
(1)
(2)
Ро du/dt = - Vре - Ро(r)о X и
(3)
rot rot и = - V2U
(4)
мы получаем
(5)
528
Эпилог
Это простое дифференциальное уравнение в частных производных должно
удовлетворяться каждой составляющей и по отдельности.
Очень глубокая аналогия между этим уравнением и соответствующим
уравнением для внутренних волн наглядно проявляется в полученном
дисперсионном соотношении. Решение вида плоской волны
u = ux ехр li (соt - кх - ly - mz)J (6)
удовлетворяет уравнению (5), если
со2 = Q 1тЧ{к2 + Р + тг). (7)
Таким образом, частота со зависит только от направления, но не зависит от
величины волнового вектора и может принимать любые значения, меньшие Q0
(точно так же, как в случае внутренних волн, но с заменой N на Q0).
Соотношение (7) может быть записано через угол 0 между поверхностью
постоянной фазы и осью z (осью вращения):
со= fi0 siQ в)' (8)
что и на этот раз совпадает с формулой для внутренних волн, но с заменой
cos на sin. Групповая скорость
U = (дсо/дк, da/di, дсо/дт) (9)
для Положительных со/т может быть записана как
Qe(** + Z*)i/2r (-кт, -1т, к*+ 14 Л
U - fc2 + Z2 + m2 L + г2)1/2 (к2 + г2 + m2)1/2 J ' 1 '
где член в квадратных скобках является единичным вектором. Так же как и в
разд. 4.4, замечаем, что эта скорость переноса энергии волн направлена
параллельно поверхностям постоянной фазы; действительно, она
перпендикулярна волновому вектору и лежит в плоскости, образованной им и
вертикалью. Величина групповой скорости для волн длины К может быть
записана в виде
U = (О0Ь/(2я)) cos 0. (И)
В противоположность этому поверхность, образованная гребнями, и другие
поверхности постоянной фазы движутся перпендикулярно самим себе со
скоростью волны
с = ((?>%/(2л)) - (й0А,/(2я)) sin 0. (12)
Равенства (11) и (12) опять имеют такой же вид, как в разделе 4.4, если
заменить N на Q0 и cos на sin. Однако для волн во вращающейся жидкости
составляющие волнового вектора
Часть I. Различные типы волн в жидкостях
529
и групповой скорости по оси z имеют одинаковые знаки, поэтому
составляющая переноса энергии по оси вращения имеет то же направление,
что и аксиальная составляющая движения гребня.
Источник, колеблющийся с частотой со < Q0> порождает во вращающейся
