Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
реакция большого океана на приливно-отливные силы. При таком изучении
необходимо, конечно, покончить с декартовыми координатами и перейти к
сферическим координатам, подходящим для формы Земли. На этом этапе,
однако, мы сами должны покончить с нашим очень кратким описанием волн во
вращающейся жидкости, отослав читателя к библиографии за дальнейшими
сведениями по затронутой тематике.
Как указывалось ранее, для движений однородной жидкости вихревые линии и
силовые линии магнитного поля обладают одним и тем же важным свойством.
Полное нелинейное уравнение для завихренности Q имеет вид
где последний член, пропорциональный кинематической вязкости v, описывает
диффузию завихренности. Если этот член отбросить, то уравнение (23) будет
означать, что вихревые линии движутся вместе с жидкостью. Если же взять
его в линеаризованной форме, в которой Й заменяется в правой части на й0,
то оно совпадет с уравнением (2), описывающим инерционные волны.
Соответствующее уравнение для магнитного поля В имеет
вид
где т - удельное сопротивление, ар, - магнитная проницаемость. Уравнение
(24) получается из следующих соображений. Электродвижущая сила в
проводнике, движущемся со ско-
dQ/dt = rot (u х fi) + vV2H,
(23)
dB/dt = rot (uxB)-f (т/p) V2B,
(24)
534
Эпилог
ростью и, равна сумме электростатической силы Е и лоренце-вой силы в X В.
В соответствии с этим плотность тока j определяется из уравнения
Е -f u X В = tj. (25)
Тогда уравнение (24) следует из формул
<9В/dt=-rotE, V-B = 0, rotB = pj (26)
- уравнений Максвелла для таких процессов (в среде с постоянной
проницаемостью), при которых не возникают настолько высокие частоты, что
в последнем уравнении становятся существенными токи смещения.
В уравнении (24) коэффициент диффузии т/р, как правило, очень велик: он
больше, чем обычная величина кинематической вязкости v. Так, для ртути
(электропроводящей жидкости, удобной для экспериментов) т/р. = 0,75 м2/с.
Такой громадный коэффициент диффузии делает почти невозможным
воспроизведение в лабораторных условиях интересующих нас эффектов,
зависящих от конвективного переноса в жидкости силовых линий магнитного
поля. Даже для жидкого натрия, низкое удельное сопротивление которого
делает предпочтительным его использование в системах охлаждения с
электромагнитным перекачиванием, т/р =0,08 м2/с, что соответствует
характерной длине диффузионных процессов около 0,3 м.
Очень высокие коэффициенты диффузии могут, однако, стать относительно
незначительными, когда речь идет о системах масштабов Земли, например для
движений в жидком ядре или в ионосфере, которые могут обусловливать часть
наблюдаемых флуктуаций магнитного поля Земли. Хотя типичные коэффициенты
диффузии в ионосфере могут принимать еще большие значения, порядка 105
м2/с, они вполне могут быть относительно незначительными для явлений со
столь большими масштабами длины. Таковы некоторые из причин, по которым
мы кратко изложим ниже замечательные свойства волн, описываемых
уравнением (24) в его бездиффузионной форме
<9ВIdt = rot (u X В). (27)
Когда силовые линии магнитного поля конвективно переносятся жидкостью,
сила, с которой они оказывают обратное воздействие на жидкость, может
быть выражена любым из двух способов: через вышеупомянутую лоренцеву
силу, действующую на движущийся заряд и имеющую вид
j X В = р-1 (rot В) х В = р-1 [в • vB - V (у#2)], (28)
Часть 1. Различные типы волн в жидкостях
?35
или через систему эквивалентных напряжений. Она состоит из изотропно
действующего давления (1/2) р,-1#2 и, кроме того, равномерного
растяжения, равного р_152 на единицу площади поперечного сечения и
направленного вдоль силовых линий магнитного поля.
Последний способ позволяет быстро сделать заключение о природе
распространения волн в однородном магнитном поле В0, когда сжимаемость
несущественна. Достаточно чисто физического обоснования: в условиях
несжимаемости давление жидкости может устанавливаться так, чтобы в
точности скомпенсировать изменение магнитного давления, поэтому каждая
силовая линия магнитного поля и движущаяся вместе с ней жидкость ведут
себя подобно простой натянутой струне. Действительно, окружающий силовую
линию поля объем жидкости с площадью поперечного сечения А обладает на
единицу длины массой р0И и натяжением р_1В2И. Поэтому поперечные движения
происходят в одном измерении вдоль нее, подобно распространению волн
вдоль натянутой струны, со скоростью волны
/ Натяжение \ 1/2 в0
Л \ Масса на единицу длины / (PPo)1/2 '
известной как альвеновская скорость волны.
Удивительная особенность этого вывода заключается в том, что в трехмерном
случае в неограниченной жидкости волны могут распространяться в одном
измерении вдоль силовых линий магнитного поля. Тот же вывод следует из
непосредственного рассмотрения малых возмущений. Малые отклонения В от
постоянного невозмущенного магнитного поля
В0 = (0, 0, Во) (30)
удовлетворяют уравнению
dBfdt = Во <9uIdz (31)
