Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
ди/dt = -g дУдх + fv, dvldt = -g dtldy - fu, (17)
которые должны быть решены совместно с тем же уравнением неразрывности
dljdt + д (hu)/dx + д (hv)ldy = 0, (18)
что было использовано в разд. 4.13.
Для длинных волн, описываемых уравнениями (17) и (18), развита обширная
теория. Их свойства наиболее просты при таких условиях, когда можно,
сохранив хорошую точность, пренебречь изменениями невозмущенного значения
глубины h с координатой и "кориолисова параметра" / с широтой.
В этом случае, когда h и / могут считаться постоянными, добавочная
вертикальная завихренность, обусловленная волновым движением, принимает
значение
dvldx - duldy = f?,/h. (19)
Этот результат может быть выведен из выписанных выше уравнений или
объяснен тем, что невозмущенные вихревые линии изменяют свою вертикальную
протяженность от h до h + Тогда уравнение (18) вместе с уравнениями (17)
и (19) означает, что
d^ldt2 = gh (3*Цда? + дЧ/ду2) - f4, (20)
так что двумерным дисперсионным соотношением для длинных волн будет
со2 = gh (,к2 + г2) + /2. (21)
Мы отметим здесь интересный контраст: если в случае внут-
ренних волн вращение ограничивает их частоты величинами, меньшими Q0, то
в случае длинных волн оно оказывает в точности противоположное
воздействие, ограничивая со величинами, большими /. Эти длинные волны
распространяются изотропно, но с дисперсией. Величина групповой скорости
может быть записана в виде
U = (g/г)1/2 (со2 - /2)х/2 со-1. (22)
34*
532
Эпилог
Она стремится к нулю, когда со спадает до порогового значения /.
Конечно, многие встречающиеся в природе длинные волны, такие, как,
например, цунами, порожденные землетрясениями, обладают главными
частотами со, много большими /. Во всех таких случаях влияние вращения
Земли на их распространение пренебрежимо мало.
Однако теория этого эффекта чрезвычайно важна по одной серьезной причине:
приливные силы возмущают океаны с частотами, сравнимыми с /. Наибольшая
из этих сил обусловлена избыточным гравитационным притяжением Луной воды,
находящейся к ней ближе, чем центр Земли, и соответствующим уменьшенным
притяжением воды, находящейся от нее дальше, чем центр. Частота изменения
этой силы в каждой фиксированной точке вращающейся Земли (причем Луна
тоже движется по своей орбите) принимает значение 1,40-Ю-4 с-1, несколько
меньшее О0 (и соответствующее периоду в 12 часов 25 минут). Однако она
превышает / на всех широтах ниже 75°.
Солнце порождает несколько меньшие силы, имеющие частоту, очень близкую к
Й0 = 1,45-10-4 с-1. Они особенно важны каждый четырнадцатый день (в
полнолуние или в новолуние), когда приливные силы, порожденные Солнцем и
Луной, усиливают друг друга.
Свойства распространения длинных волн, проявляемые решениями
соответствующих уравнений, оказывают особенно существенное влияние на
приливные движения в мелких морях. Из-за ограниченности скорости
распространения, определяемой формулой (22), такие моря реагируют на
приливы и отливы в примыкающем глубоком океане с некоторым опозданием.
Неизбежное увеличение амплитуды волны при переносе ее энергии в более
мелкие воды, где она оказывается локализованной в области с уменьшенной
глубиной, ведет к возрастанию практической важности точного знания этих
эффектов.
В этом смысле существенны другие виды колебаний, отличные от описываемых
дисперсионным соотношением (21). К ним относятся квазиодномерные моды
распространения колебаний в волноводе, известные как "кельвиновские
волны", которые можно рассматривать как волны (разд. 4.13),
модифицированные влиянием вращения Земли.
Помимо предсказуемых приливно-отливных сил астрономического происхождения
на приливно-отливные движения в мелких морях оказывают влияние и
некоторые другие силы. К ним относится сила трения ветра о поверхность
воды. Очень сильные ветры, дующие в периоды максимальных приливных
движений, могут представить серьезную угрозу сооружениям береговой
Часть 1. Различные типы волн в жидкостях
533
защиты. Для того чтобы изучить такую угрозу британским берегам, в
Институте океанографических наук была разработана программа для
численного решения уравнений (17) (в которых были восстановлены
нелинейные члены и в правые части добавлены члены, описывающие
произвольные силы) во всей области мелких морей, окружающих Британские
острова, с учетом уравнения (18); вводимые данные отвечали известным
приливно-отливным движениям астрономического происхождения в прилегающем
глубоком океане. При предсказаниях относительно ветра эта программа может
быть использована для того, чтобы определить, когда необходимо ввести в
действие различные аварийные сооружения береговой защиты.
Длинные волны с частотой со > / обычно ведут себя в приблизительном
согласии с дисперсионным соотношением (21), даже если / и h изменяются.
Тем не менее обнаружено, что их изменение делает возможными также
некоторые волнообразные движения с много меньшими частотами, называемые
"волнами Россби". Они могут оказаться особенно важными, когда изучается
