Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
частности, показать, что
К - -к sin (0 - Ф) cosec (0 + Ф).
Дать другой вывод этого уравнения при помощи тригонометрических
соображений, исходя из диаграммы, показывающей траектории потока энергии
в падающих и отраженных лучах. Показать, наконец, что поток энергии в
отраженной волне имеет величину, равную потоку энергии в падающей волне,
умноженному на sin (0 - -ф) | cosec (0 -f- ф) |. Согласуется ли это с
законом сохранения энергии? Обсудить, в частности, предельный случай при
ф -> -0.
2. В разд. 4.2 и 4.5 содержатся предположения о том, что величину [ро
(z)]1/2 (квадратный корень из невозмущенной плотности в
стратифицированной жидкости) следует рассматривать как коэффициент,
естественно входящий и в восходящую компоненту массового потока q, ив
избыточное давление ре при малых возмущениях. Показать, что, в самом
деле, при
9=[Ро (z)]1/2 9s (*. г/, z)exp(icut), ре = [р0 (z)]1/2 ps (х, у,
z)exp(icot) получается
{[/V (г)]2 - о2} qs = - foj [dpjdz + ff (z) ps], d^pjdx2 + d2ps/dy2 + co2
[c0 (z)]-2 ps = Ш [dqjdz - ff (z) qs\, где
о (z) = -Lg [c0 (г)]'2 Г1 W (^)J2.
Показать, что в случае, когда среда представляет собой совершенный газ с
невозмущенной температурой Т0 (z) и постоянным отно
520
Упражнения к главе 4,
шением удельных теплоемкостей у,
о (,)= ( 1 i-у) g[Co (*)]-" L Щ (г)/Г"Ш
Показать, что в атмосфере с постоянной температурой Т0 при у = = 1,4
существование плоских волн, для которых как ps, так и qs пропорциональны
ехр [-i (kx + ly -f- rnz)], возможно, если
(N2 - со2) (k2 + I2) - co2m2 = (l,225cV2 - со2) со2Со2.Ц Показать, что
это уравнение исключает частоты со между N и 1,11 N. При со < N
изобразить отклонение от конической поверхности волновых чисел, которое
не допускает, чтобы горизонтальная составляющая волнового вектора (к2 -j-
12)1/2 когда-либо становилась меньше 1,11 сос^1. Показать, что при со >
1,11ЛГ эта составляющая (к2 -f- Z2)1/2 равна самое большее сос^1, и
изобразить отклонение от сферической поверхности волновых числ.
[В литературе уделяется весьма большое, но, возможно, вводящее в
заблуждение внимание точной природе этих отклонений от конической
поверхности волновых чисел для внутренних волн и от сферической
поверхности волновых чисел для звуковых волн. Читатель заметит, что
указанные отклонения существенны только для малых волновых чисел, имеющих
порядок
Nco1 = 0,45 [-Ро (z)/p0 (z)]
и соответствующих длине волны, равной высоте, на протяжении которой
плотность уменьшается более чем в 10е раз. Атмосфера никогда не может
быть изотермической на таких высотах. Более того, даже если бы она и была
изотермической, было бы невозможно возбудить волну такой большой длины.
Решения для (к2 + I2)1/2 на плоскости т = 0 особенно обманчивы, поскольку
идея горизонтально распространяющихся волн с такими большими длинами на
первый взгляд вполне правдоподобна. Тем не менее возбудить такую волну с
плотностью энергии, постоянной в чрезвычайно большом диапазоне высот,
невозможно. Настоящие горизонтально распространяющиеся колебания в
гравитационно-акустическом волноводе (разд. 4.13) для простого
предельного случая изотермической атмосферы имеют qs = 0 и ps,
пропорциональное ехр (-cfz). Другими словами, вертикальная составляющая т
волнового вектора в этом случае не обращается в нуль; она принимает
мнимое значение -ia.]
3. Читателю предлагается получить второе приближение дисперсионного
соотношения (74) для "волнообразной" моды при распространении волны на
океаническом термоклине < z < zx с большим градиентом плотности,
разделяющем области z < z2 и z > zx с пренебрежимо малым градиентом
плотности. Из уравнения (71), в которое вместо Q (z) введена функция
Z (г) = Q'(z)/Q (z),
показать, что
z Z
[A(z)]2dz+ j (k2-[Z(z)]2}dz.
Z% 22
Z(z) = k-fc3<o"2 j
Упражнения к главе 4
521
Показать, что (74) всегда дает слишком высокую оценку а2. Получить второе
приближение для малых k (z2 - z2) в виде <в2 = Gk (1 - кН),
где G, как и в (74), равно (1/2) gin (p2/pi), а
имеет порядок толщины слоя z2 - z2.
Превышает ли отношение групповой скорости к фазовой скорости для этих
волн 1/2 или оно меньше этой величины?
4. Перемещение цилиндра/нормальное его оси, как на рис. 77, производит в
равномерно стратифицированной жидкости небольшое локализованное
возмущение. Показать, что если это возмущение не генерирует волн с
длинами, превосходящими некоторое максимальное значение /,т, то по
прошествии времени t все волны будут находиться в двух цилиндрических
областях радиуса Л'/.т</(4л), которые касаются друг друга в точке
расположения начального возмущения.
5. Рассмотрим.неоднородную систему волн, для которой дисперсионное
соотношение в форме (100) медленно меняется со временем. (Например,
медленно меняющимся может быть внешнее магнитное поле, которое может
действовать на волны так, как описывается в эпилоге.) Для волн, частота
которых <в имеет вид функции
медленно меняющейся как по а?;, так и по t в масштабе длин волн и
