Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лайтхилл Дж. -> "Волны в жидкостях" -> 210

Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.

Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях — М.: Мир, 1981. — 603 c.
Скачать (прямая ссылка): volnivjitkosytyah1981.djvu
Предыдущая << 1 .. 204 205 206 207 208 209 < 210 > 211 212 213 214 215 216 .. 242 >> Следующая

периодов волн, определить то единственное уравнение среди уравнений
(103)-(108), которое нужно изменить. Какое существенное изменение внесет
это в свойства лучей?
Показать также, как распространить на этот довольно общий случай принцип
стационарной фазы. Показать, что изменение фазы между моментами времени t
= г2 и t = t2 в точке, движущейся вдоль траектории xt = х, (/), на
которой волновое число принимает значение kt = kL (t), определяется
выражением
Доказать, что это изменение фазы стационарно относительно малых вариаций
6xt (t) и 6kt (t) функций xt (г) и kt (г), при которых начальная и
конечная точки указанной траектории остаются неизменными (так что 6xj
(i2) = бxt (г2) = 0), тогда и только тогда, когда эта траектория является
лучом.
6. Основываясь на предположении о равенстве нулю осредненной по объему
избыточной плотности, показать, что для звуковых волн в совершенном
газе.с постоянным отношением удельных теплоемкостей у осредненное по
объему избыточное давление равно произве-
<в = о (*!, к2, к3, хи х2, х3, t),
t
522
Упражнения к главе 4
дению (у - 1)/2 на волновую энергию в единице объема W. Это можно
рассматривать как предположение, согласно которому полное "радиационное
напряжение" для звуковых волн можно записать как сумму напряжения
Рейнольдса (156) и изотропного члена (1/2) (у - 1) W&ij. Заметим, однако,
что соответствующее среднее движение может быстро перестроиться таким
образом, чтобы генерировать равное и противоположное среднее давление,
приводящее результирующее движение к состоянию покоя. До какого значения
уменьшится при этом осредненная по объему избыточная плотность?
7. Получить аналитическое уравнение луча, изображенного}(tm) рис. 81, т.
е. луча, переносящего малые возмущения с частотой со, меньшей постоянной
частоты Вяйсяля - Брента N, в стратифицированном воздушном потоке,
который движется в направлении х со скоростью тг, линейно возрастающей с
высотой. Показать, что луч, выходящий из точки (х0, 0, 0), в плоскости у
= 0 при возрастающих х и z имеет форму
изображенную на рис. 81.
На каких высотах, если они вообще существуют, могут возбуждаться
внутренние волны с частотой со, большей N, для которых кривая,
описываемая приведенным выше уравнением, представляла бы луч, переносящий
их энергию в плоскости у = 0 при возрастающих
X И 2?
А что произошло бы с любой энергией, генерируемой на такой высоте, но
движущейся в плоскости у = 0 при возрастающем х и убывающем г?
8. Большой объем жидкости имеет невозмущенное распределение плотности
где рх и е постоянны, и можно считать, что частота Вяйсяля - Брента имеет
постоянное значение N = (g&)1/2 (потому что 8 велико по сравнению с gc~%,
но гг мало в этом объеме жидкости). В момент t = 0 часть жидкости,
имеющая форму горизонтального цилиндра радиуса а с осями х = г = 0,
внезапно делается однородной с плотностью рх. (Это идеализация эффекта
очень быстрого перемешивания, обусловленного турбулентностью в следе за
быстро движущимся в жидкости телом.) Решить соответствующую начально-
краевую задачу о двумерных внутренних волнах, предполагая, что локальная
вертикальная составляющая массового потока q равна нулю в начальный
момент. (Другими словами, турбулентность локально перемешала жидкость,
которая вследствие этого "высвобождается из покоя".)
Представить начальное значение ре (превышение плотности над ее
невозмущенным значением) в виде
х - хй-{-г [N* (со - k^xz)~2 - I]1/2,
Ро (z) = Pi (1 - гг),
ОО 0
- ОО -оо
ажнения к главе 4
523
и показать, что если pei равно +pj8z при хг + z2 < а2 и равно нулю во
всех остальных точках, то зависимость
F (k, т) = ipjenrVm (к2 + т.2)-1 J2 [(ft2 + т2)1/2 а]
выражает F через функцию Бесселя J2. Показать, что волны в области z > 0
имеют вид
ОО О
q= - igN_2 ^ j" оз (к, т) F (к, т) ехр [?<зз (к, т.) t - кх - mz]dkdm,
- ОО - СО
где
03 (ft, т) = N | ft | (ft2 + m2)-1/2.
И, наконец, показать, что эти волны для больших t в точке х = = г sin 0,
z = г cos 0 представимы в виде
-I
g = - р 1ЛГа2г"1 | sin 20;J2 {N'tr~1a sin 0) exp (iiVf cos 0).]
[Здесь форма колебаний, представленных экспонентой, показывает радиальное
направление гребней волн. Наличие функции Бесселя отражает тот факт, что
волны с большими волновыми числами, сравнительно поздно приходящие в
удаленную точку, генерируются с переменной фазой из-за начального разрыва
плотности при г = а.\
Воспользоватьсяприближеннымусловиемдля захваченных волн (417), чтобы
получить дисперсионное соотношение для "волнообразной" моды колебания (п
= 0) на некотором термоклине. Принять, что частота Вяйсяля - Брента равна
нулю вне интервала z2 < z < z1 и равна
N (z) = f1 - I 2 - zm I " zm)_1]
в интервале z2 < z < zlt где Лгт представляет собой максимальное
значение, принимаемое при
z = zm = (zj + z2)/2.
Показать, что дисперсионное соотношение в "исцеленной лучевой теории"
имеет вид
ft (zx - z2) = я [(TVmW2 - l)1/2 - езТУшаг ch (ЛГщОЭ-1)]-1.
Это приближение можно использовать в интервале частот между оз = 0,5iVm и
Предыдущая << 1 .. 204 205 206 207 208 209 < 210 > 211 212 213 214 215 216 .. 242 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed