Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
распространяющихся в одном измерении, когда свойства волны (волновое
число и амплитуда) меняются очень плавно в масштабе длины волны. В
нелинейной теории по-прежнему предполагается, что можно, как и в разд.
3.6, определить локальную фазу а таким образом, чтобы она плавно
возрастала между последовательными гребнями на 2л (хотя волновой профиль
может быть совершенно отличным от синусоидального). Тогда, как и прежде,
определения со и к дают
со = daldt, к = - да!дх. (64)
Теперь рассмотрим тот самый интеграл (56), к которому применялся принцип
Гамильтона, но выберем f1? t2, и х2 так, что интегрирование производится
по длительному промежутку времени и по всей группе волн. Предположим, что
везде, где параметры в масштабе длины волны меняются медленно, волна
очень похожа на периодическую волну, в которой локальные значения со и к
определяются по формулам (64). Тогда в выражении (56), в котором
лагранжиан L интегрируется по очень большому числу длин волн и по очень
большому числу периодов, его можно заменить в каждой точке
соответствующим
Часть 2. Нелинейные эффекты
551
средним по длине волны,, или по периоду значением,, а именно X (со, к).
.г..
Тогда интеграл (56) принимает вид
t% X 2 >
j dt j X {да/dt, -да/dx)dx. (65)
и Xl"' ' '
Интеграл (65) стационарен для обращающихся в нуль в гранич-
ных точках вариаций а тогда и только тогда, когда выполняется условие
Эйлера
Ш)Ч¦' ¦ W)
Уравнение (66) - это фундаментальное' уравнение Уизема для одномерной
нелинейной дисперсии. Его можно самым непосредственным образом толковать
как закон сохранения
¦волнового действия
d'i&tdt = - д$?1дх, , (67)
выразив входящие в него величины через плотность волнового действия (60)
и поток волнового действия:
,$ = - дХ/дк. ' ' . (68)
С другой стороны, ойо может быть использовано для получения закона
сохранения энергии
QWldt = - дНдх, (69)
где поток энергии имбет вид
" I = - соdX/dk. , ' (70)
Это выражение получается потому, что формула (62) дает для плотности
полной энергии волны 2И/к - X соотношение
W = ыдХ/ды - X, (71)
так что в силу равенств (66), (64) и (70)
д / дX \ | Эсо дХ 1 Г дсо дХ . дк 9X 1
dt L(r) I i 1 dt д(?> J L dt d(i> dt dk J
- 9 I 9X 1 ! 9(0 9% - 91 C79^
W dx \ dk ) * dx dk dx ' ' *
В частном случае гравитационных волн на глубокой воде эти уравнения для
плотности и потока волнового действия и энергии упрощаются, потому что
(рg)~1Xk? является, как показывает рис. 113, функцией от соzlgk. Из этого
следует, что
к дХ/дк + j со dXfda = - 2Х, - (73)
552
Эпилог
а это значит, например, что' поток энергии / может быть выражен через
приведенные на рис. 113 величины в виде
с{2Х+\ч>дХ1д<й) =c(2X + WK) = c(3WK-2WP). (74)
Кроме того, поток энерии (45), переносимый назад по отношению к гребням,
равен
cW ~ I = с (31КР - 2W-k). (75)
Эта формула использовалась для того, чтобы изобразить на рис. 113
(штриховая линия) в безразмерной форме
gPJpbV5 = g (31Кр - 2WK) /рс4 (76)
- вблнообразующую мощность цилиндра длины Ъ, движущегося со скоростью V в
перпендикулярном его образующим направлении и создающего волны, имеющие
скорость с = V, без диссипации энергии за счет вспенивания. Здесь
максимальное значение 0,0200 отвечает равному 0,02рbV5/g критическому
значению волнообразующей мощности (или волнового сопротивления Dw,
равного 0,02 рbVklg), выше которого должно существовать вспенивание волн
вблизи цилиндра.
Соотношение между волновым действием и энергией для волн,
распространяющихся по движущейся со скоростью V жидкости, будет несколько
иным. Теперь лагранжиан движения, происходящего относительно
невозмущенного течения, зависит от обобщенных координат, которые в
периодической волне можно выразить через х (смещение по отношению к
невозмущенному течению) формулой
Чп = fn Ы - к (Vt + х)). , (77)
Это дает
?n = (co - &F)/; = сог/", (78)
где сог - относительная частота, определенная в разд. 4.6. Соответственно
в выражении для плотности действия (61)
получаем, что согд<55/<?со равно среднему значению qndLldqn, которое есть
21Кк, т- е- удвоенная кинетическая энергия волнового движения
относительно невозмущенного течения. Для особого случая бесконечно малых
волн она равна WT, что дает для плотности действия формулу
Jk = W XU"г. (79)
Тогда можно показать, что фундаментальный закон сохранения волнового
действия (66) для систем, свойства которых плавно
Часть 2. Нелинейные эффекты
553
меняются в масштабах длины волны, имеет интерпретацию,, использованную в
разд. 4.6.
Однако даже если никакого невозмущенного течения нет, закон сохранения
волнового действия ясно показывает, каково-влияние нелинейности на
дисперсию волн. Здесь мы приведем только одно такое указание. Раскрывая
значения производных в уравнении (66) для случая, когда со и к
удовлетворяют соотношениям (64), мы получаем уравнение второго порядка
для фазы а
д*? Э2а 0 д*Х Э2а , д2Х Э2" __п ,от
do)2 dt2 д(о dh dt дх дк2 дх2 '
коэффициенты которого являются функциями от первых производных (64).
