Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
И/(, z)Pmn{Vi z) dy dz - CMNfMN', (481)
A
здесь
CW= j j [Рмя(У, z)]2dydz. (482)
A
Формула (481) получена из (480) в результате почленного
интегрирования с учетом свойства ортогональности, согласно-
которому интеграл по А от произведения двух различных рмк равен нулю.
Полнота означает, что любую функцию / (у, z) в А можно представить в виде
(480), где коэффициенты fMN определяются указанным способом. В частности,
для собственных функций (478) прямоугольника имеем
{(1/4) А, когда М и N отличны от нуля,
(1/2) А, когда только одно из них раьно нулю, (483)
А, когда и М, и N равны нулю,
где А - bh - площадь прямоугольника; при этом разложение (480)
является двойным рядом Фурье.
Уравнение (476) показывает, что волны в волноводе могут
распространяться только при частотах со > соMN. Поэтому если (от -
наименьшее положительное собственное значение (r)mn, то распространение
звуковых волн при частотах, меньших сот, ограничивается недиспергирующей
модой М - N = = 0, т. е. строго одномерным движением (473). Например, в
прямоугольнике (472) уравнение (479) дает com = c0nb~x.
Как показывает (476), все другие моды (настоящие волноводные моды)
диспергируют. Для к > 0 это дает положительную фазовую скорость
(й/к = с0со (со2 - "ти^)-1/2, (484)
превосходящую скорость звука с". Однако волновая энергия переносится
вдоль волновода с положительной групповой скоростью
Vmn ~ da/dk = (dk/da))_1 - c0co_1 (со2 - со)ия)1/2> (485)
которая всегда меньше с0. Когда частота уменьшается до "пороговой
частоты" соMN, ниже которой волны не могут распространяться, групповая
скорость (485) стремится к нулю.
506
4. Внутренние волны
Интересно понять, каким образом источник с частотой (c)0 генерирует волны с
<aMN < (о0, и только такие волны. Уравнение (301) для суммарного
распределения источников, запинанное через избыточное давление ре и
текущие координаты (х, у, z), принимает вид
Если функцию / (х, у, z) разложить по формуле (480), то fMN будет
функцией х, которую мы представим в виде интеграла Фурье
при произвольных со и к представляет собой коэффициент, на который
умножается выражение (474) при подстановке его в левую часть уравнения
(486).
Подинтегральная функция в интеграле (488) не имеет полюсов на
действительной оси к, если aMN > со0; в таком случае этот интеграл на
больших расстояниях от источника становится экспоненциально малым. (Для
больших положительных х, например, мы доказываем это (разд. 3.9 и 4.9),
опуская путь интегрирования в комплексной плоскости к.) Физически это
значит, что энергия всего движения в моде рМп сосредоточена вокруг
источника.
Если (oMN < со0, то волны, распространяющиеся от источника, можно
определить посредством оценки выражения (488) с учетом условия излучения.
Для больших положительных х при этом выбираются полюсы подинтегрального
выражения ¦с положительным к, соответствующим тем волнам, для которых
групповая скорость (485) положительна. Таким образом, асимптотическое
представление интеграла в выражении (488) имеет вид
c~2d2pe/dt2 - V2pe = f(x, У, z) ехр (fo0f).
(486)
оо
/mx(z)= j FMN(k)exp( - ikx)dk.
(487)
Тогда решение уравнения (486) будет иметь вид
оо оо оо
оо
м=О N=0
- оо
где
BMN (со, к) = - и2с02 + к2 + o)2mnC02
(489)
9 ¦ Pmn (к) ехр [i (to0t- fca:)] dBMN (0)0, k)/dk
при fe= +с"Ч((о2 - и n)1/2"
(490)
4.13. Волноводы
507
Подставляя это значение в (488) для всех колебаний с частотами
получаем
Ре- -т 2j Zj Рмк(у> 2) ej1 (cog-w^v)1/2
"AfJV^0
X ехр {г [со0? (ю2 - соmn)U2 ^с;1]}. (491)
Заметим, что амплитуда каждой моды в выражении (491) стремится к
бесконечности (если FMN (0) не обращается в нуль), когда со0 | (&MN- В
теории, пренебрегающей диссипацией, это и следовало ожидать при
приближении к резонансной частоте.
Интересно выписать волновую энергию WMN на единицу длины волновода в
одной из мод (474). Она получается интегрированием величины р~alc~a2pl по
площади поперечного сечения А. (Произведения двух различных собственных
функций pMN (у, z) не дают вклада в волновую энергию в силу их
ортогональности.) Используя интеграл (482) от функции [pMN (у, z)]2,
получаем
wMN - ~п~ я2Ро 1('MN (шо - wjvnv) i\^MN [СоМ^о- (r)Mn) ^ ]|
2
(492)
Скорость передачи волновой энергии в этой моде получается в результате
умножения (492) на групповую скорость (485). Суммируя полученное
выражение для всех колебаний, распространяющихся в направлении
положительных х (моды с к >0), и складывая с аналогичным выражением для
колебаний с к < 0, распространяющихся в направлении отрицательных х,
получаем выходную мощность источника
Р = ~2~ ^РоЧсОо1 2 2 ^mn ((r)o - (r)mjv) 1/2 &mn (шо)> (493)
aMN<a 0
где
Gmn ((r)о) = I Fmn К1 ((r)o - (r)mn) 1/2] 12 +
+ - - (r)mjv)1/2]I2- (494)
При приближении к резонансу (со0 | coMjv) полученная выходная мощность
(493) становится бесконечной (снова если Fmn (0) =/= 0). Мы видим, что
этот факт аналогичен случаям, описанным в конце разд. 4.12; там, где
скорость распространения энергии (485) стремится к нулю, флуктуации
