Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
давления вблизи области источника возрастают (поскольку волновая энергия
высвобождается очень медленно) и могут экстрагировать большую энергию от
источника.
508
4. Внутренние волн"
При любой частоте со0 < сот выражение (493) не содержит членов,
характерных для волновода; строго одномерный член, соответствующий М - N
= 0, дает
P=~Y ^2Ро'со(r)о 2Соо {I Poo (Со1<0о) 12 + I ^оо (- с~1(c)0) |2}. (495)
Из уравнений (477) и (482) вытекает, что С00 = А.
Для компактных источников (размер области определения которых мал по
сравнению с Coto"1) выражение (495) принимает вид
Р = я^сосо-^оо l^oo (0) I2, (496)
где, согласно (481) и (487), выражение
оо оо
2лС00^00 (0) == С00 j f00(x)dx = j dxjjf(x, у, z) dy dz (497)
- oo -oo A
представляет амплитуду суммарной напряженности источника, обозначавшейся
в гл. 1 через д. Поэтому если ввести среднее значение квадрата массового
расхода истечения д2, то выходную мощность (496) можно записать в виде
Р = -±-р?с0А~1?. (498)
Значение (498) совпадает с результатами для "одномерного источника",
приведенными в разд. 1.4, где, однако, исследовались звуковые волны,
излучаемые только в одном направлении флуктуирующим источником с массовым
расходом д (t) в этом направлении. Выражение (498) соответствует сумме
мощности, излучаемой одномерно в направлении положительных х флук-
туирующим массовым расходом (1/2) q (t) в этом направлении, и такой же
мощности, излучаемой в направлении отрицательных х переменным массовым
расходом (1/2) д (t) в этом направлении.
Любой компактный источник в волноводе излучает в соответствии с
одномерной теорией и, следовательно, с частотами, меньшими сот. И
наоборот, можно ожидать, что при очень больших частотах источник будет
излучать, как в неограниченной жидкости, с выходной мощностью,
определяемой (разд. 1.4) выражением
P = q2(t)/(inp0c0)\ (499)
по существу, это основывается на том, что границы волновода находятся при
этом в "дальнем поле" (на расстояниях от источника, больших по сравнению
с с0/(о0). Приближение (499) для
4.13. Волноводы
509
выходной мощности говорит о том, нто в таком предельном случае источник
производит диффузное излучение, которое скачет вперед и назад вдоль
трубки без заметного изменения условий вблизи источника.
Процесс, в результате которого достигается предельное значение (499) для
больших со, представляет большой интерес. Для компактного источника
выражение (494) принимает вид
Gmn (щ) ~ 2 | Fmn (0) 1а- (500)
Из (481) и (487) получаем
оо
2itCMNFMN (0) = CMN ^ ?мы(х)3х =
- оо
oo
= j dx j j f{x, y, z)pMN(y, z) dy dz; (501)
- oo A
этот интеграл весьма точно равен амплитуде произведения
суммарной напряженности источника q на значение pMN (Уs, zs) в центре
(ys, zs) области источника (которая компактна по сравнению с с0/со0 и,
следовательно, также и по сравнению с большим масштабом c0/(oMN области
изменения величины pMN). В результате выражение (493) для мощности
принимает вид
Р = \ PolcoG>oV (0 2 2 [Pmn (Ув, zs)]2 (со2-со!адГ1/2.
(502)
Если частота со0 достаточно велика, то сумма (502) содержит так много
членов, что ее можно аппроксимировать интегралом. Для того чтобы это
сделать, нужно определить п (со) как гладкую функцию со, представляющую
приближенно число собственных функций с собственной частотой, меньшей со.
Например, в прямоугольнике (472) это число собственных функций (478)
совпадает с числом точек (М, N) с целыми координатами внутри четверти
эллипса
М > 0, N > 0, Ж2 (соЬ/(с0я))-2 + N2(ah/(c0n))~* < 1. (503)
Очевидно, в качестве п (со) можно взять площадь четверти эллипса (503), а
именно произведение его полуосей соЬ/(с0л) и соh/(c0n) на л/4. Это дает
п (со) = (со/с0)2,4/(4я), (504)
где А - площадь поперечного сечения волновода.
510
4. Внутренние волны
Каково бы ни было значение п (со), мы аппроксимируем сумму (502) при
большом (о0 выражением
а>0
Р " ~ Ро^оШо1?2 (0 [ А~1 (со2- (о2)-1/2 та' (ш) Ло. (505) о
Здесь п' (со) da является сглаженным значением группы членов с со < g>mn
< со -f- dсо в указанной сумме, а сглаженное значение величины Cmn IPmn
(*/s> zs)]2, согласно (482), равно ее среднему значению А-1. Если п (со)
имеет значение (504), то выражение (505) легко вычисляется и получается
равным выходной мощности источника (499) в неограниченной среде. Более
того, нетрудно показать, что выражение (504) является единственным
представлением функции п (со), при котором (505) не зависит от со0 и
равно мощности (499). Этот факт можно рассматривать как "физическое
доказательство" неизбежной истинности классической теоремы, утверждающей,
что уравнение (504) действительно справедливо при любой форме поперечного
сечения с площадью А.
Интересно проследить детали перехода от (498) к (499) при возрастании со0
в частном случае волновода прямоугольного сечения (472) с компактным
источником в центре. Выражение (478) дает
IPmn (j/s> 2s)]2= ^.Рмлг ("2"^'
( 1, если и M, и N четные, (506)
1 0 в противном случае,
