Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лайтхилл Дж. -> "Волны в жидкостях" -> 207

Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.

Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях — М.: Мир, 1981. — 603 c.
Скачать (прямая ссылка): volnivjitkosytyah1981.djvu
Предыдущая << 1 .. 201 202 203 204 205 206 < 207 > 208 209 210 211 212 213 .. 242 >> Следующая

включает (см. (37)) члены
-^[iV(z)]2|(?(z)!2[co2p0(z)]-i и -J-IPWIMcoWrMM*)]-1,
(519)
обусловленные гравитацией и сжимаемостью соответственно, причем величина
[р0 (z)]_1 на основании (513) пропорциональна Ех (z) Е2 (z). Оба члена
(519) экспоненциально возрастают с высотой как Ex {z)/E2 (z) (см. (514)),
если интеграл в (515), который является также и внутренним интегралом в
(516), не стремится к нулю при больших z.
Уравнение (518) показывает, что величина (со 1к)~2, обратная квадрату
скорости волны, представляет собой взвешенное среднее величины [с0 (z)]-
2, обратной квадрату скорости звука. Весовая функция Р (z) Е2 (z) обычно
меняется таким образом, что скорость с0 (z) принимает значение,
находящееся между ее значениями на уровне Земли и в стратосфере. Так,
например, первое приближение (517) дает весовую функцию, пропорциональную
функции (514), графически изображенной на рис. 110. Как правило, значение
с0 в стратосфере составляет примерно
0 Заметим, что избыточное давление принимает значения, которые находятся
в одинаковой фазе на всех высотах над данной точкой на поверхности Земли.
В самом деле, если фаза выбрана таким образом, что Р (0) действительно,
то и все значения Рп (z) также действительны.
4.13. Волноводы
515
290 м/с (что соответствует температуре порядка 210 К) и с0 убывает до
этого значения от своего значения на уровне Земли при возрастании z от
нуля до величины, примерно равной 12 км. При значении на уровне Земли,
равном 340 м/с, соответствующее взвешенное среднее величины [с0 (z)]-2
отвечает скорости волны, приблизительно равной 310 м/с. Это значение
близко к скоростям волн, обычно наблюдаемым при распространении изменений
давления на большие расстояния. (Первое точно измеренное возмущение
такого типа было воздушной волной, возникшей в результате взрыва вулкана
Кракатау в 1883 г.)
Использование в весовой функции первого приближения (517) в качестве Р
(z) дает скорость волны, не зависящую от частоты. На самом деле функция Р
(z), определяемая уравнением (516), зависит от частоты со и утрачивает
эту зависимость только когда со мало по сравнению с частотой Вяйсяля -
Брента N. Влияние этой зависимости от частоты на весовую функцию приводит
к небольшой дисперсии: фактически происходит небольшое уменьшение
скорости волны, пропорциональное со2, когда со возрастает от нуля. Однако
это вызывает втрое большее уменьшение групповой скорости.
Эта глава заканчивается описанием морских "односторонних волноводов".
Речь идет о распространении длинных волн вдоль береговой линии в том
смысле, что большая часть их кинетической энергии связана с
горизонтальными движениями воды, незначительно меняющимися с глубиной.
Несмотря на то что распространение происходит вдоль береговой линии,
волны не являются одномерными, поскольку соответствующие горизонтальные
движения воды в такой же степени перпендикулярны береговой линии, в какой
и параллельны ей.
Распространение таких длинных волн в воде с плавно меняющейся глубиной h
(х, у) удовлетворяет уравнению неразрывности
dt,ldt -f- д (hu)ldx д (hv)/dy = 0, (520)
которое приравнивает скорость изменения возвышения свободной поверхности
? взятой с минусом двумерной дивергенции вектора потока (hu, hv). С
учетом уравнений количества движения
duldt - -gdt,/dx, dvldt = -gdt,/dy (521)
уравнение (520) дает
d2?/d?2 = д (ghdt,/dx)/dx -f- д (ghdt,/dy)/dy. (522)
Это уравнение, конечно, переходит в двумерное волновое уравнение со
скоростью волн (gh)1/2 при постоянной глубине h.
33*
516
4. Внутренние волны
Когда h зависит только от координаты у, представляющей собой расстояние
от береговой линии, уравнение (522) может описывать квазиодномерное
распространение вдоль береговой линии, если
? = Z (у) ехр U (соt - кх)\, (523)
где
gh(y)Z"(y) + .gh'(y) Z'(y) + [со2 - gh(y) Щ Z(y) = 0. (524)
Для нас представляют интерес случаи, когда h (у) возрастает с расстоянием
у от береговой линии. Тогда там, где h (у) становится большим, уравнение
(524) приближенно можно записать в виде
Z" (I/) - Ш (у) = 0, (525)
и только решение, в котором приближенно
Z (у) пропорционально ехр (-ку), (526)
имеет конечную энергию. Поэтому мы будем отыскивать решения уравнения
(524), которые удовлетворяют этому условию, когда h (у) становится
большим.
Существует один случай, когда (526) является точным решением уравнения
(524) при всех у. В этом случае h = $у при постоянном уклоне дна р. Тогда
функция (526) всюду удовлетворяет уравнению (524) при условии, что
со = (gp/c)1'2. (527)
Это классическая предельная волна Стокса *).
Для того чтобы визуально представить себе горизонтальные движения жидких
частиц в стоксовой предельной волне, нужно только взглянуть на рис. 50 и
считать, что верхняя часть рис. 50 представляет собой береговую линию, а
траектории частиц изображают горизонтальные движения жидкости вблизи
береговой линии при распространении предельной волны. Это
объясняется тем, что на основании уравнений (521) скорость (и, и)
Предыдущая << 1 .. 201 202 203 204 205 206 < 207 > 208 209 210 211 212 213 .. 242 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed