Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
в силу чего отношение мощности (502) к ее значению (498) при низких
частотах равно
plfj- p-1^-1?2) 2 2 Cmjv (ш" - (r)mjv) 1/2, (507)
' ' 2 ) "млг<"°
М, N четные
где СMN определяется условием (483).
На рис. 109 показано, каким образом выражение (507) совершает переход от
постоянного значения, равного 1 при (о0 < сога, к своему квадратично
возрастающему асимптотическому значению при больших частотах, на
основании (499) равному
(со0/с0)2Л/(2я). (508)
Парадоксально, что безразмерная выходная мощность (507) является
убывающей функцией всюду, где она непрерывна!
4.13. Волноводы 51 i
I'iic. 109. Выходная мощность Р компактного акустического источника.
с частотой ш0, расположенного в центре волновода прямоугольного
поперечного сечения с отношением ширины к высоте b/h =1^2. Ордината
представляет отношение мощности Р к значению (498), которое она всегда
имеет при <в0 < шга. (В действительности для источника, расположенного в
центре, она имеет это значение при <в0 < 2сот.) Непрерывная кривая
представляет предельную форму (508), принимаемую в случае, когда волновод
отсутствует и источник излучает в открытое пространство. Разрывная кривая
представляет точное выражение (507).
Однако при каждой собственной частоте (i)MN она резко возрастает
(теоретически вплоть до оо), но очень быстро снова оказывается близкой к
асимптотической кривой. Указанное отклонение появляется только при
частотах, которые совсем незначительно превосходят собственную частоту
coMN; диссипация энергии в дальнейшем сгладила бы эти отклонения.
В случае звуковых волн в трубе мы видели, что распространение при
особенно низких частотах происходит посредством дви-
512 4. Внутренние волны
жений весьма простого вида, аналогичных (473). В волноводах, вообще
говоря, дело обстоит иначе.
Атмосфера может действовать как односторонний волновод, и наибольший
интерес в таком волноводе представляют низкочастотные колебания, которые
могут переносить изменения давления над поверхностью Земли. В данном
случае нельзя использовать такое же простое дисперсионное соотношение,
как и (473), поскольку скорость звука с0 меняется с высотой. К тому же
гравитационные волны связаны с внутренними волнами; действительно,
волновое число мало по сравнению с [-p"(z)/p0 (z)], что противоречит
условию (52), при котором звуковые и внутренние волны не связаны друг с
другом.
Уравнения (35) и (36) описывают гравитационно-акустические волны в
стратифицированной атмосфере. Распространение в гравитационно-
акустическом волноводе происходит в виде волн
Я = Q (z) ехр [i (соt - кх)], ре = Р (z) ехр [i (соt - кх)], (509) причем
на основании (35) и (36) мы имеем
{[A (z)]2 - со2} Q (z) = -ico {P' (z)+ g [c0 (z)]"2 P (z)} '(510)
и
{со2 [c" (z)]-2 - /с2} P (z) = m {Q' (z) + g^ [A (z)]2 Q (z)}. (511)
Экспоненциальные интегрирующие множители для этих уравнений имеют вид
Z
Ех (z) = ехр { [ g [с0 (г)]- 2 <7zj , о
2
A2(z) = exp | f g~l [A(z)]2dz|, (512)
о
и важно отметить, что их произведение
Е, (z) Е% (z) = [р0 (0)/Ро (z)] (513)
изменяется обратно пропорционально плотности; кроме того, мы можем
показать, что при атмосферных условиях выражение
Z
[A2(z)/?'1(z)] = [c0(z)/c0(0)]2exp| -(2 -у) j g [с0 (z)]"2dz| (514)
о
представляет собой экспоненциально убывающую функцию z (рис. 110).
4.13. Волноводы
513
Z, км
Рис. 110. Характерное изменение скорости звука с высотой в нижнем
тридцатикилометровом слое атмосферы и соответствующее отношение Е2 {z)/E1
(г), полученное из (514) при у = 1,4.
Восходящая компонента массового потока q равна нулю на поверхности Земли,
т. е. при z = 0, в силу чего соответствующее решение уравнения (511)
имеет вид
Z
Q{z) = [mE2{z)]^ \ {">z[c0(z2)]-2-k2}P(z2)E2(z2)dz2. (515)
о
Тогда решение уравнения (510) формально можно записать в виде
Z
Р (z) = [Ei (*)]-! (Р(0) + j {[IV ЫР-со2} [.Е, (Zi)/E2 (Zi)] dzl X
о
zi
x [ {[C0 (z2)]-2 - (со/к)~2} P (z2) E2 (z2) <3z2), (516)
о
а это дает интегральное уравнение, которое позволяет определить Р (z)
методом последовательных приближений. Первое
3 3-01100
514
4ш Внутренние волны
приближение имеет вид
Р, (z) = 1Ег (z)\-'P (0). (517)
Оно было бы точным решением только в изотермической атмосфере с
постоянной скоростью звука с0 (z); при этом двойной интеграл в уравнении
(516) может обратиться в нуль, если значение со /к равно этой постоянной.
Если же это не так, то мы переходим ко второму приближению Р2 (z),
определяемому уравнением (510), в правой части которого вместо Р
(z)подставлено Рх (z), и т. д. На каждом шаге (п -f- 1)-е приближение
Рп+х (z) дается формулой (516) с заменой Р (z) на Рп (z) в правой части
х).
Соответствующее значение со Ik должно быть таким, чтобы интеграл в (515)
стремился к нулю, когда z -с"; это условие дает
оо оо
(<D/A)-2 = {j [c0{z)]-*P{z)E2(z)dz}l[\P(z)E2(z)dz}. (518) о о
В противном случае для создания волны потребовалась бьг бесконечная
энергия. Действительно, выражение для плотности потенциальной энергии
