Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
которым можно применить эту теорию. Даже волны, захваченные в
океаническом термо клине (разд. 4.3), имеют только немного большие длины.
Однако в этом разделе будут описаны и волны с длинами во много десятков
километров, которые благодаря совместному действию акустических и
гравитационных волн могут горизонтально переносить на большие расстояния
изменения давления в стратифицированной атмосфере Земли.
Как и в других разделах настоящей главы, мы включаем этот аспект
внутренних волн в контекст общей теории; на этот раз - теории
квазиодномерных волн в жидкостях или, короче
4.13. Волноводы
503
говоря, волноводов. Строго одномерные волны в жидкостях, рассмотренные в
гл. 2, включают движения жидкости, которые с высокой степенью приближения
являются продольными, т. е. происходят в направлении распространения. В
волноводах распространение в одном измерении обусловлено движениями
жидкости, имеющими наряду с продольными также и значительные поперечные
составляющие.
Распространение в волноводах дает хорошие иллюстрации одномерной теории
дисперсии и групповой скорости. Между прочим, в электротехнике часто
используют волноводы для электромагнитных волн, но в этой книге мы будем
рассматривать ТОЛЬКО волноводы для волн в жидкостях.
Мы начнем с акустических волноводов, в которых звуковая энергия
переносится вдоль трубок постоянного поперечного сечения. Мы покажем, что
ниже некоторой определенной частоты <от волновое движение должно быть
строго одномерным, но при больших частотах оно становится существенно
трехмерным. Особый интерес представляют детали, связанные с переходом в
выходной мощности компактного источника от строго одномерной формы к
трехмерной форме для существенно неограниченной жидкости (ср. с разд.
1.4) при росте частоты.
Волноводы не обязательно имеют границы со всех сторон: они могут быть
односторонними. Атмосфера, ограниченная только снизу, действует как
односторонний "гравитационноакустический волновод", почти вся волновая
энергия которого сосредоточена в пределах пограничного слоя высотой около
30 км. Мы изучим это при помощи объединенной теории звуковых и внутренних
волн, которая была развита в разд. 4.2.
С этой точки зрения воду со свободной поверхностью можно было бы
рассматривать как "односторонний волновод", который допускает одномерное
распространение поверхностных волн, почти вся энергия которых
сосредоточена в пределах слоя, примыкающего к свободной поверхности и
имеющего толщину, равную четверти длины волны (см. гл. 3). Истинно
квазиодно-мерное распространение, однако, лучше иллюстрируется (поскольку
волны на воде, в конце концов, распространяются в двух горизонтальных
измерениях) береговым явлением "предельных волн". В конце этого раздела
дается анализ того, каким образом "предельные волны" переносят вдоль
отлогого берега сигналы с довольно большими длинами волн, причем их
энергия сосредоточена в прибрежной полосе, ширина которой сравнима с
этими длинами волн.
Описываемые акустические волноводы представляют собой трубы с жесткими
стенками постоянного поперечного сечения А.
504
4. Внутренние волны
В качестве иллюстрации мы часто будем использовать случай, когда А
является прямоугольником
0 <. у <Z Ь, 0 <С z <. h, hг?С Ъ. (472)
Во всех случаях ось х выбирается вдоль трубы.
Звук фиксированной частоты может переноситься вдоль трубы не только
посредством строго одномерного распространения, когдс
ре = а ехр [г (соt - кх)], где ш = с0к, (473)
но также и посредством собственных колебаний волновода
Ре = a-MN ехр li (соt - кх)] pMN (у, z). (474)
Выражение (474) для ре удовлетворяет волновому уравнению, если
d2pMN/dy2 + d*pMNldz2 +(h2mnC~2Pmn = 0, (475)
где
(c)Jfjv = и2 - kV0; (476)
оно удовлетворяет также граничному условию для трубы с жесткими стенками,
если Pmn имеет нулевую нормальную производную на стенке. Для поперечного
сечения А существует двоякобесконечная последовательность собственных
функций Pmn (У> z), таких, что каждая удовлетворяет уравнению (475) со
своей "собственной частотой" а также удовлетворяет
этому граничному условию. Полагая
Роо (У, z) = 1, со0о = 0 (477)
(постоянная собственная функция с нулевым собственным значением), мы
можем рассматривать (473) как частный случай выражения (474) при М = N =
0.
Например, когда А является прямоугольником (472), эти собственные функции
и собственные частоты имеют вид
Pmn (j/> z) = cos (Mny/b) cos (Nnz/h), (478)
и2Mn = #ts (M2b-2 + N2h~2). (479)
В случае произвольного поперечного сечения А собственные частоты
представляют собой частоты, которые являются резонансными для двумерных
волн со скоростью с" в области А.
В теории разложений по собственным функциям доказывается, что для любого
А собственные функции представляют собой полную систему ортогональных
функций. Это означает, что
4.13. Волноводы,
505
любую функцию / (у, z) можно разложить в ряд
оо ( оо
/(г/, z)= 2 У f mnPmn (j/i z), (480).
M=0 JV=0
где коэффициенты fMN определяются из уравнения
