Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
включают стационарные возмущения со сравнительно большим вертикальным
волновым числом вниз по потоку от препятствия и возмущения со
сравнительно малым вертикальным волновым числом | т | вверх по потоку от
него. Они включают также "подветренные волны" с длиной волны 2nV/N на
подветренной стороне препятствия.
нимающем (разд. 4.9) чисто мнимое значение -ie. Вычет в обоих равен
Ш(1F(0' (tm))ехР(-(tm)2)- . (46?)
Физически полюсы воспроизводят величины горизонтальной скорости
распространения энергии
бсо0/дк = V + да>Т/дк = V =F N I m I"1 (468)
для внутренних волн при к = I = 0 (х -составляющая групповой скорости
которых (91) равна ±N | тп |-1). Одно из значений (468) может быть
отрицательным, что соответствует распространению энергии вперед от
препятствия, если | пг | < <С N/V; при этом групповая скорость превышает
V.
Тогда перед препятствием выражение (422) равно интегралу по тп только в
этом интервале от произведения -2яi на вычет (467), что дает
N/V
<7= - 2яг I Vm (N2 - У2т2)~х F (0. т) ехр (- imz) dm. (469)
-N/V
4.12. Генерирование волн движущимися воздействиями
501
За препятствием мы имеем
ОО N/V
q=-2ni ^2 J - j }Vm(N2 - У2то2)"' F(0, m) exp (-imz)dm,
- oo -N/V
(470)
что является вкладом от двух полюсов (466), когда | "г | > >N/V, и только
от одного полюса, когда | т | < N/V.
Мы показали, что компоненты распределения источников в области
сравнительно большого вертикального размера (соответствующего
вертикальной компоненте волнового числа, меньшей N/V) генерируют
возмущение вверх по потоку. Происходит это главным образом потому, что
соответствующая групповая скорость превосходит У.
Механику этого явления, а именно, каким образом "двумерные" препятствия
сравнительно большого вертикального размера, движущиеся в
стратифицированной жидкости, могут толкать перед собой жидкость, можно
грубо объяснить следующим образом. Часть жидкости, находящаяся впереди и
первоначально двигавшаяся со скоростью (У, 0) относительно препятствия,
не может обладать достаточной кинетической энергией ((1/2) р0У2 на
единицу объема), чтобы сообщить избыточную потенциальную энергию (1/2)
pc./V2?2, необходимую для такого вертикального перемещения ?, чтобы
препятствие обойти (либо сверху, либо снизу), а тогда эта жидкость должна
скапливаться в слое перед препятствием. Это грубое рассуждение имеет то
достоинство, что оно объясняет, почему сильное возмущение,
распространяющееся перед двумерным препятствием, полностью отсутствует
для трехмерного препятствия, которое генерирует волны только позади себя
(рис. 107). Очевидно, жидкость, движение которой относительно трехмерного
препятствия не обладает достаточной энергией, чтобы обойти препятствие
при помощи вертикальных перемещений, всегда может совершить этот обход
при помощи горизонтальных перемещений.
Неинтегрируемая особенность в интеграле (469) при \ т \ - = N/V отражает
реальное физическое явление. Энергия в фурье-компонентах при значениях |
т. |, чуть меньших N/V, может распространяться вперед со скоростями,
только немного превосходящими скорость препятствия. В пределе она может
"скапливаться" перед препятствием, так что возмущение может возрасти до
очень больших значений. Однако этот рост на практике ограничен
диссипацией, нелинейностью или ограниченной продолжительностью
вынуждающего движения.
Наряду с возмущениями в виде слоя перед препятствием и за ним на рис.
1086 показано также, что существуют цилиндри-
502
4. Внутренние волны
ческие волны с длиною 2яV/N, соответствующие волновым числам на
окружности. Эти волны стационарны по отношению к препятствию и
обнаруживаются за ним во всех направлениях, образующих с горизонталью
угол 0, меньший я/2. Их форма определяется выражением (429) в виде
q = F (V~lN cos 0, V~lN sin 0) (tg 0) (8n3l(NVX))l/2 x
Xexp[-i (y-WX + J-jt)], (471)
где X - расстояние от препятствия. (Здесь мы использовали тот факт, что
кривизна окружности х равна V/N, в то время как (дВТ/дп)-1 равно (27V)-
1tg0; чтобы включить комплексно сопряженный член, был снова введен
коэффициент 2.) В силу тех же причин, что и ранее, при 0 -я/2 появляется
сингулярность поведения: это волны с волновыми числами, приближающимися к
к = 0, | m | = N/V, для которых величина скорости распространения энергии
U + V снова стремится к нулю. К тому же при этом требуется очень большое
время, чтобы эти волны ушли из области вынуждающего воздействия; однако
происходящее в результате нарастание волн вертикально над движущимся
препятствием на практике снова ограничено диссипацией, нелинейностью или
же ограниченной продолжительностью вынуждающего движения.
4.13. Волноводы
Введение во внутренние волны, подобное настоящей главе, не должно
создавать впечатление, что все интересные гравитационные волны в
стратифицированных жидкостях имеют длины волн,измеряемые в метрах (или
даже миллиметрах), а не в километрах. Конечно, большая часть этой главы
посвящена теории лучей и поэтому тем сравнительно коротким волнам, к
