Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
соответствует безвихревому движению, определяемому
0 Достаточно любопытно, что Стоксу не нужно было строить длинноволновое
приближение, поскольку потенциал скорости, пропорциональный ехр (-ikx -
ку) и не зависящий от z, в точности удовлетворяет уравнению Лапласа.
Кроме того, он в точности удовлетворяет краевому условию на дне с
постоянным уклоном, если ось у направлена вдоль дна и (как и прежде)
перпендикулярна береговой линии. Наконец, он в точности удовлетворяет на
свободной поверхности условию для ср, если (527) выполняется при р,
равном синусу (а не, как выше, тангенсу) угла наклона дна к горизонтали;
само собой разумеется, что различие пренебрежимо мало при умеренных
уклонах. Ни одно из этих замечаний неприменимо, однако, к'предельным
волнам на дне с непостоянным уклоном.
4.13. Волноводы
517,
потенциалом скорости (igt,/со), который, согласно (523) и (526),
пропорционален
ехр [i (cot - кх) - ку],
а это точно такая же зависимость от ж и у, как и зависимость от х и z,
использованная при построении рис. 50. Заметим также, что в силу условия
(527) скорость волны (gfylk)1!2 и групповая скорость уменьшаются вдвое.
Решение типа стоксовой предельной волны для h = $у является простейшим,
но ни в коем случае не изолированным решением уравнения (524). Фактически
предельные волны распространяются вдоль берегов с плавно изменяющимся
уклоном h'(y), удовлетворяя условию (527) при р, равном в некотором
смысле промежуточному значению уклона в той области, где имеют место
решения типа предельной волны.
Для того чтобы грубо продемонстрировать этот факт, мы будем
характеризовать плавно меняющийся уклон берега: (i) его значением h' (0)
на береговой линии, (ii) его значением Ы (оо) при больших ку и (iii)
такой мерой, как h" (0), представляющей скорость изменения уклона с
расстоянием от береговой линии. При этом мы попытаемся удовлетворить
уравнению (524) приближенным решением
Z (у) = Z (0) [ехр (-ку)] (1 + Ску)°, (528)
где постоянные С и D выбираются таким образом, чтобы (528) удовлетворяло
уравнению (524) при больших и малых значениях ку.
Мы получим, что решение (528) удовлетворяет уравнению (524) при больших
ку, если
со2 = (1 + 2D) gh'(оо) к, (529)
в то время как при малых ку первые два члена разложения
в ряд Тейлора дают
со* = (1 - CD) gh'(0) к (530)
и
2CD (С + 1) - СЮ2 = [-А*(0)/(йЛ'(0))] (1 - CD). (531)
Рис. 111 показывает результаты использования этих выражений для
вычисления того, как переменная
(x>4(gh'(0) к) (532)
(равная единице для решения Стокса) меняется в зависимости от отношения
А'(оо)/Л'(0) (533)
518
4. Внутренние волны
h'ioo) h'( 0)
Рис. 111. Предельные волны: обычная приближенная форма их дисперсионного
соотношения. Здесь h' (0) представляет собой уклон дна у берега, h' (оо)
- меньший уклон дна вдали от берега, а числа у кривых дают значения
величины [-h"(0)/(kh'(0))], которая измеряет относительную скорость
начального падения уклона дна, умноженную на 1/к (т. е. на Х!(2л)).
(характеризующего уменьшение уклона с увеличением расстояния от береговой
линии) для различных значений величины
[-Л'(0)/(АЛ'(0))]. (534)
Утверждение, что уравнение Стокса (527) удовлетворяется при значении р,
лежащем между ti (оо) и ti (0), подкрепляется тем фактом, что величина
(532) лежит между (533) и единицей. Она ближе к последнему значению (при
этом р близко к ti (0)), когда (534) мало, что означает лишь небольшое
уменьшение уклона в области, где происходят волновые движения.
Предельные волны вблизи берега могут быть часто идентифицированы в
записях компонент спектра морских волн, имеющих периоды около одной
минуты. В самом деле, широко распространенное наблюдение того факта, что
обыкновенные береговые волны (вызываемые распространением зыби по
направлению к береговой линии) достигают максимальных амплитуд примерно
один раз в минуту (различные легенды приписывают
Упражнения к главе й
519
наибольшую величину "седьмому валу" или "девятому валу"), может быть
следствием взаимодействия между этими поверхностными волнами и такой
предельной волной.
Упражнения к главе 4
1. Показать, что в стратифицированнощжидкости с постоянной частотой
Вяйсяля - Брента N уравнения
ре - (N sin б) ехр [/ (Nt cos 0 - kx -j- kz tg 0)],
p0u = (tg 0, 0, 1) q1 exp [i (Nt cos 0 - kx + kz tg 0)]
при 0 < 0 < я/2 описывают плоские внутренние волны, которые переносят
поток энергии (1/2) (ро&)-1?! N tg 0 вверх и направо в направлении,
определяемом единичным вектором (sin б, 0, cos б). Этот поток волновой
энергии падает на плоскую стенку х = z tg г|з, где 0 - я <ф < 0. Найти
отраженную волну, т. е. волну с той же самой частотой со = N cos 0 и
потоком энергии, направленным от этой стенки, с учетом того, что сумма
падающей и отраженной волн имеет нормальную скорость, равную нулю на
самой стенке. Для отраженной волны будет достаточно найти значения
амплитуды Qi, ^-составляющую волнового вектора К и направление потока
энергии 0, соответствующее величинам qlt к и 0 в падающей волне. В
