Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
273
величинами 0,07 Я и 0,28 Я, для которых пределы длинных волн и глубокой
воды дают приемлемые приближения. Горизонтальное движение на поверхности
на 54% интенсивнее, чем у дна, что не согласуется ни с предположением о
приблизительно равномерном распределении в одномерном случае, ни с
предположением об относительно малом движении у дна в случае глубокой
воды. (О влиянии вязкого пограничного слоя между твердым дном и
горизонтально движущейся прилегающей жидкостью см. разд. 3.5.)
Вертикальное движение у поверхности на 18% интенсивнее, чем
горизонтальное движение у дна, тогда как отношение амплитуд вертикального
и горизонтального движений меняется от значения 0 у дна до значения 0,76
у поверхности, не приближаясь к предельному значению 1 в случае глубокой
воды и не оставаясь малым, как в линейной теории.
В гораздо более глубокой воде эллипсы, показанные на рис. 55, будут, как
на рис. 50, очень близкими к окружностям везде, кроме придонной области,
где они будут сильно сплющенными, но относительно малыми. В намного более
мелкой воде все они будут сильно сплющенными с почти одинаковыми длинами
больших осей.
Избыточная потенциальная энергия на единицу площади горизонтальной
поверхности для волн на воде произвольной глубины принимает значение
(24), полученное из (23). Аналогично, кинетическая энергия на единицу
площади горизонтальной поверхности всегда принимает значение (26), но
соотношение между ф и дц>tdz при z = 0 для воды произвольной глубины h
изменяется согласно (34). Это соотношение совместно с условием (12),
приравнивающим дфtdz и dt,/dt, дает тогда выражение для кинетической
энергии волн на единицу площади горизонтальной поверхности:
Таким образом, обобщенная масса на единицу площади водной поверхности
увеличивается по сравнению с величиной для случая глубокой воды р&-1 до
величины
Используя эту новую величину и прежнее значение обобщенной жесткости pg,
можно интерпретировать дисперсионное соотношение (35) как определение
квадрата частоты со2, равного отношению жесткости к массе. Отсюда следует
равенство средних значений кинетической и избыточной потенциальной
энергий и та же, что и ранее, формула (28) для полной энергии W волны на
единицу площади.
р (k th кк)~г (д XJdt)2.
(44)
р (к th kh)~l.
(45)
18-01100
274
3. Волны на воде
Для волн на глубокой воде появление обобщенной массы р&-1 на единицу
площади интерпретировалось в разд. 3.2 как явление, обусловленное
движением поверхности со скоростью dZ,/dt, вызывающим заметные
перемещения в слое жидкости толщиной, пропорцйональной к-1. В
соответствии с этим мо-жет показаться удивительным, что наличие твердого
дна, ограничивающего глубину жидкости, способной двигаться, увеличивает
обобщенную массу и уменьшает таким образом частоту. Объяснение состоит в
том, что dZ,ldt представляет собой вертикальную составляющую движения
поверхности: при уменьшении kh увеличение отношения интенсивностей
горизонтального движения к вертикальному создает большее изменение в
кинетической энергии на единицу площади для данного значения dZJdt, чем
то, которое вызывается уменьшением наличного объема жидкости.
Например, в предельном случае длинных волн амплитуда скорости
горизонтального движения на поверхности в (kh)~b раз больше амплитуды
скорости вертикального движения и отношение соответствующих кинетических
энергий на единицу объема составляет (kh)~2; отсюда с учетом того, что
масса на единицу площади равна рh, получается обобщенная масса рh (kh)~2,
которая согласуется с предельным переходом в точной формуле (45) для
случая длинных волн. Конечно, если за обобщенную координату принять
горизонтальное смещение поверхности жидкости, то обобщенная масса в
предельном случае длинных волн будет иметь не зависящее от длины волны
значение рh, но обобщенная жесткость преобразуется к виду pg (kh)2; это
снова приводит к соотношению со2 = ghk2, которое соответствует
недиспергирующим волнам со скоростью (gh)1/2.. Дальнейшие важные сведения
об энергетических соотношениях для волн на воде произвольной глубины h
даны в разд. 3.8.
3.4. Волны ряби
При рассмотрении поверхностных волн в разд. 3.1-3.3 сила тяжести
считалась единственной силой, стремящейся вернуть поверхности раздела
"воздух - вода" z = ? плоскую форму. Считалось, что давление воды на
поверхности раздела совпадает с атмосферным давлением ра, так что
приращение давления ре над невозмущенной величиной р0 - ра - рgz
принимает на границе значение pg? (формула (6)). В данном анализе-теория
видоизменяется из-за учета дополнительной силы, стремящейся вернуть
поверхности раздела плоскую форму,- силы поверхностного натяжения,
которая порождает разрыв меж-
3.4. Волны ряби
275
ду давлением в воздухе и в воде, пропорциональный кривизне поверхности
раздела. Пропорциональная кривизне поверхности раздела итоговая поправка
к величине ре, отнесенная к пропорциональному смещению поверхности
раздела неподправлен-ному члену рgZ" составляет величину, обратно
