Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лайтхилл Дж. -> "Волны в жидкостях" -> 109

Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.

Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях — М.: Мир, 1981. — 603 c.
Скачать (прямая ссылка): volnivjitkosytyah1981.djvu
Предыдущая << 1 .. 103 104 105 106 107 108 < 109 > 110 111 112 113 114 115 .. 242 >> Следующая

некоторые ¦сюрпризы, касающиеся особенностей действия этого механизма).
В данном рассмотрении предполагается, что искомое решение уравнения
Лапласа в виде синусоидальных волн в заполненной водой области z^ 0
удовлетворяет условию (13) на верхней границе z = 0. Мы должны также
наложить подходящее граничное условие на нижней стационарной границе
массы воды; для безвихревого течения этим условием будет стремление к
нулю нормальной составляющей скорости жидкости, т. е. производной по
нормали потенциала скорости ср. Любое полученное таким образом решение
для безвихревого течения дает, однако, ненулевое значение тангенциальной
составляющей скорости на границе. В случае вязкой жидкости оно должно
быть согласовано с точным граничным условием равенства нулю скорости
жидкости на стационарной твердой поверхности посредством введения тонкого
диссипативного пограничного ¦слоя (разд. 2.7) между поверхностью и
безвихревым потоком.
Хотя в разд. 3.3 решения уравнения Лапласа в виде синусоидальных волн
строятся так, чтобы они удовлетворяли не только верхнему, но и нижнему
граничному условию, а в разд. 3.5 изучается соответствующий вязкий
пограничный слой, мы опишем сначала более простое явление - волны на
поверхности столь глубокой воды, что точное граничное условие выполняется
снизу автоматически, поскольку связанное с поверхностными волнами
возмущение не может проникнуть так глубоко вниз. Поверхностные волны
такого рода называют "волнами на глубокой воде"; для любого водоема с
глубиной, превосходящей длину волны (как указано в разд. 3.1), нижнее
граничное условие удовлетворяется.
Это утверждение легко проверить. Потенциал скорости, описывающий
распространение синусоидальной волны в положительном направлении оси х со
скоростью волны с, имеет вид
Ф = Ф (z) exp [гы (t - xlc)] = Ф (z) exp [г (at - kx)], (14)
3.2. Синусоидальные волны на глубокой воде
261
где со и А - угловая частота и волновое число, которые выражаются через
период tp и длину волны Я = ctp так:
со = 2nltp, к - со/с - 2л /Я. (15)
Функция Ф (z) описывает зависимость амплитуды волны (возможно
комплексной) от расстояния (-z) вниз от поверхности. Выражение (14) (из
которого, конечно же, ясно, что его действительная часть представляет
собой потенциал скорости ф) удовлетворяет уравнению Лапласа (5), если Ф
(z) удовлетворяет соотношению
Ф"(г) - Я2Ф(г) = 0. (16)
Общим решением этого обыкновенного дифференциального уравнения является
линейная комбинация решений ehz и e~kz. Первое из них удовлетворяет
граничному условию глубокой воды; возмущение, которое им
описывается, становится все
слабее и слабее в точках, расположенных далеко вниз от
поверхности, где z отрицательно и велико. Действительно, на нижней
границе, где z < - Я, возмущение становится меньше, чем е~2л = 0,00187,
т. е. пренебрежимо малым.
Так что для волн на глубокой воде мы должны положить
Ф(г) = Ф0ек\ (17;
где Ф0 - постоянная (значение Ф при z = 0). Член, содержа-' щий е~кг,
должен быть исключен, поскольку он экспоненциально растет там, где z
велико и отрицательно (превышая е2л =
= 535 на глубине, большей длины волны).
Очевидно, из (14) и (17) следует, что <92фIdt2 равно -со2ф, а дц>!dz
равно Яф, так что граничное условие (13) на z =0 дает следующее
соотношение между частотой и волновым числом для гравитационных волн на
глубокой воде:
со2 = gk. (18)
Это дисперсионное соотношение в силу (15) может быть также записано через
скорость волны с в виде
с = а/к = (g/k)1!2 = (*Я/(2 л))1/2. (19)
Такая зависимость скорости волны от корня квадратного из длины волны
означает весьма существенное изменение скорости в представляющем интерес
диапазоне длин волн. Величина коэффициента (g/2л)1/2 равна 1,25 м1/2/с,
поэтому если Я измеряется в метрах, с - в м/с, а период tp = Я/с в
секундах, то из (19) получаем
с = 1,25 ХУ2, tp = 0,80 ХУ2. (20)
262
3. Волны на воде
Тогда в диапазоне длин волн от 1 до 100 м, типичном для поверхностных
гравитационных волн, скорость волны с изменяется от 1,25 м'с до 12,5 м/с,
а период tp - от 0,8 до 8,0 с. Более того, в разд. 3.4 показано, что
поверхностные волны с длиной Я, принимающей довольно .малые значения,
вплоть до 0,1 м (при этом с = 0,4 м/с, tp = 0,25 с), все еще являются
почти чисто гравитационными (в том смысле, что эффект поверхностного
натяжения остается для них очень малым), а волны с таким большим
значением Я, как 1000 м (при этом с = 40 м/с, tp = 25 с), в районах
океана с глубиной в несколько километров все еще остаются волнами на
глубокой воде. Таким образом, синусоидальные волны на глубокой воде
представляют интерес для большого диапазона значений скоростей и
периодов.
Сидя на берегу водоема, можно наблюдать следующие друг за другом гребни
волн с интервалом, скажем, около 8 с. Если предположить, что эти гребни
представляют собой преобразованные при распространении на прибрежном
мелководье гребни синусоидальных волн, которые подходят к береговой линии
Предыдущая << 1 .. 103 104 105 106 107 108 < 109 > 110 111 112 113 114 115 .. 242 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed