Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
отрицательной потенциальной энергии).
С точки зрения общей линейной теории колебаний (см. курсы по динамике)
выражение (24) для приращения потенциальной энергии на единицу площади
горизонтальной поверхности означает, что локально подходящей обобщенной
координатой, описывающей распространение гравитационных волн, могло бы
быть смещение свободной поверхности ? при условии, что кинетическая
энергия на единицу площади горизонтальной поверхности может быть записана
соответственно как величина, кратная (5?/3f)2. И действительно, такая
формула легко выводится для синусоидальных волн.
(23)
-Л
(24)
х) В разд. 2.1 было показано, что изменением плотности в волнах на воде
можно пренебречь, поэтому в оставшейся части гл. 3 в обозначении ро
индекс опущен.
3.2. Синусоидальные волны на глубокой воде
265
Общее выражение для кинетической энергии потока жидкости с потенциалом,
удовлетворяющим уравнению Лапласа (5),. имеет вид
где поверхностный интеграл берется по границе жидкости,, а оператор д!дп
означает дифференцирование по внешней нормали. Это утверждение
доказывается в курсах по механике сплошной среды с помощью теоремы о
дивергенции, позволяющей преобразовать выражение (25) в объемный интеграл
от величины (1/2)ру- (cpVcp), которая представляет собой, если только
удовлетворено уравнение (5), кинетическую энергию на единицу объема (1/2)
р- (Уф)2. В случае волн на воде вклад в интег-грал (25) на нижней
границе, где дц> 1дп = 0, отсутствует, а вклад в него на свободной
поверхности, согласно линейной теории, может быть приближенно заменен
таким же интегралом по невозмущенной свободной поверхности z = 0. С
допустимой в линейной теории погрешностью третьего порядка относительно
малых возмущений это дает для кинетической энергии1 на единицу площади
горизонтальной поверхности выражение
Далее, согласно (12), при z = 0 величины dqldz и dydt равны, а из (14) и
(17) для синусоидальных волн на глубокой воде находим ф = А-1 <?фIdz.
Таким образом, их кинетическая энергия на единицу площади горизонтальной
поверхности будет
Здесь наличие множителя к~г отвечает тому факту, что перемещение
поверхности d^/dt вовлекает в движение слой жидкости (см. рис. 50) снизу
от поверхности с толщиной, пропорциональной длине волны 2л/к (хотя и
несколько меньшей этой длины).
Можно считать, что выражения (24) и (27) определяют для синусоидальных
волн на глубокой воде обобщенную жесткость pg (коэффициент перед (1/2) У
в выражении для потенциальной энергии) и обобщенную массу р&-1
(коэффициент перед (1/2)(dydty в выражении для кинетической энергии) на
единицу площади поверхности воды. Соотношение (18) в терминах общей
теории может быть интерпретировано следующим образом: квадрат частоты
колебаний со2 равен отношению обобщенной жесткости к обобщенной массе, в
данном случае gh (так что кинетическая и потенциальная энергии будут
иметь, одинаковые средние значения).
(25)
(26)
±рк-1 (dydt)2.
(27)
266
3. Волны на воде
Если профиль свободной поверхности имеет форму ? =
= a cos (соt - кх) с амплитудой а и связанными соотношением (18) со и к,
то полная энергия волны на единицу площади горизонтальной поверхности
(сумма (24) и (27)) будет равна постоянной
W = ^-pga2. (28)
(При этом имеем Ф0 = ia>a/k.) Для поверхностных волн, которые могут
распространяться лишь в горизонтальном направлении, энергия волны на
единицу площади W является аналогом энергии W на единицу объема для
звуковых волн (разд. 1.3).
Этот раздел мы можем завершить вопросом: насколько точным является
дисперсионное соотношение (18) для волн, не имеющих в точности
синусоидальную-форму (14)? Заметим, что в выражении (14) нет зависимости
от координаты у, что дает чисто двумерное движение, одинаковое для каждой
плоскости (такой, как изображена на рис. 50), параллельной плоскости xz.
Гребни волн, например, должны неограниченно простираться под прямыми
углами к такой плоскости. Однако для того чтобы синусоидальные волны с
хорошей точностью удовлетворяли соотношению со2 = gk, достаточно того,
чтобы их зависимость от у была настолько плавной, что член д2<р'ду2 в
уравнении Лапласа (5) был бы намного меньше, чем остальные два члена (при
выводе формул (16) - (18) они полагаются в точности уравновешивающими
друг друга). Вообще говоря, это означает, что волны имеют "длинные"
гребни, согласованно простирающиеся в направлении оси у на расстояние
многих длин волны. Лишь упомянув здесь об этом, мы отложим до разд. 3.6
обсуждение случаев отклонения от поведения чисто синусоидальных волн.
3.3. Синусоидальные волны
на воде произвольной, но постоянной глубины
Исходя из линейной-теории, мы установили, что: (i) волны на "глубокой"
воде (в том смысле, что ее глубина везде превосходит длину волны Я)
обладают свойством дисперсии', скорость волны зависит от к, меняясь в
зависимости от нее, как (gXlin)1/2 (разд. 3.2); (ii) "длинные" волны (в
том смысле, что X во много раз больше глубины) дисперсией не обладают, т.
