Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
скорости около 22 см/с можно визуально наблюдать моделирование
акустических явлений в чрезвычайно замедленном темпе (разд. 1.7).
280
3. Волны, на воде
с
(gh)w
Рис. 57. Отношение скорости волны с к ее предельному значению для длинных
волн (gh)1/2 в случае волн ряби на мелкой воде глубины h, равной
соответственно 2,5, 5, 10 и 20 мм. Для сравнения штриховой линией
показана кривая для чисто гравитационных волн (рис. 52).
Мы закончим этот раздел обсуждением переноса энергии волнами ряби и
кратким описанием связи между понятием поверхностного натяжения и общей
физикой жидкости. Вклад во внутреннюю энергию жидкости производится как
средней кинетической энергией, связанной с тепловым движением молекул,
так и средней потенциальной энергией, связанной с силами взаимодействия
между молекулами. Это вклады разного знака, поскольку за исключением
статистически редкого случая необычно малого расстояния между молекулами
силы взаимодействия являются притягивающими и создают отрицательную
потенциальную энергию. Реально внутренняя энергия на единицу массы,
обозначаемая здесь, как и в разд. 1.2, через Е, намного меньше (например,
для воды на три порядка), чем кинетическая энергия на единицу массы,
огромная величина которой почти уничтожается сложением с численно
примерно равной отрицательной потенциальной энергией на единицу массы.
Все точки жидкости дают статистически однородный вклад в отрицательную
потенциальную энергию жидкости за одним исключением. Молекулы,
расположенные в непосредственной
3.4. Волны, ряби
близости от свободной поверхности, могут взаимодействовать-только с
меньшим, чем среднее, числом молекул. Поэтому вклад, в отрицательную
потенциальную энергию, производимый такими расположенными исключительно
близко от поверхности молекулами, численно составляет лишь часть вклада,
который в общем случае делается молекулами. Это обстоятельство влияет на
величину полной внутренней энергии жидкости: к статистически однородному,
а следовательно пропорциональному массе вкладу, добавляется положительная
поправка, пропорциональная площади свободной поверхности и связанная с
отсутствием отрицательного вклада от молекул, образующих на свободной
поверхности слой толщиной примерно в 1 молекулярный диаметр. Этот
чрезвычайно тонкий слой может дать весьма существенный вклад, поскольку
уменьшение отрицательной потенциальной энергии на одну молекулу численно-
гораздо больше, чем суммарная внутренняя энергия на одну молекулу.
В соответствии с этим внутренняя энергия жидкости массы М с площадью
свободной поверхности А может быть записана в виде
ME + АТ, (61>
где Е - внутренняя энергия на единицу массы жидкости, а Т - необходимая
положительная поправка на единицу площади свободной поверхности. Отсюда
следует, что малое изменение формы жидкого объема фиксированной массы М
влечет изменение энергии Т&А, пропорциональное малому приращению ЬА
площади его свободной поверхности. Другими словами, работа, которую надо
произвести, чтобы растянуть свободную поверхность, в точности принимает
значение Т&А, получающеесн на основе рассмотрения препятствующей
растяжению силы поверхностного натяжения Т на единицу длины границы
свободной поверхности. Мы видим, что величину Т можно рассматривать либо
как эффективную силу натяжения на единицу длины границы, действующую по
касательной к свободной поверхности и измеряемую в Н/м (ньютон на метр),
либо как добавочную потенциальную энергию на единицу площади свободной
поверхности, измеряемую в Дж/м2 (джоуль на квадратный метр). Хотя во
втором случае смысл величины Т становится физически более ясным, первое,
более простое объяснение должно приводить к тем же самым заключениям.
Для простоты изложения приведенное выше обсуждение-неявно основывалось на
том допущении, что изменение внутренней энергии при растяжении свободной
поверхности даег величину проделанной работы. Заканчивая обсуждение, за-
282
3. Волны на воде
метим, что с точки зрения термодинамики изменение свободной ¦энергии
(внутренняя энергия минус произведение температуры на энтропию) равно
количеству произведенной работы (исключая случай неизотермического
подвода тепла). Следовательно, из соображений строгости надо исправить
выражение (61) таким образом, чтобы Т было изменением свободной энергии
при единичном изменении площади для данной массы жидкости, и
рассматривать прирост свободной энергии, который вызывается этим
изменением, как вклад поверхности в потенциальную энергию волны.
Любые синусоидальные волны на поверхности воды увеличивают ее поверхность
пропорционально величине, которая при усреднении по длине волны может
быть записана как среднее от величины
В предположении малости амплитуды это равно среднему от величины (1/2) (д
1,/дх)2, которое для волн с волновым числом к может быть выражено через
среднее от квадрата вертикального смещения ?2 как
-Эта добавочная площадь поверхности (63), отнесенная к единице площади,
