Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
е. скорость волны не зависит от X, принимая значение (gh)1/2 в воде
посто-
3.3. Волны на воде постоянной глубины
267
янной глубины h (разд. 2.2). В этом разделе мы изучим переходный между
этими крайностями случай и определим скорость волны на воде произвольной,
но постоянной глубины h, наложив соответствующее безвихревому потоку
граничное условие нулевой нормальной составляющей скорости у твердого
дна:
дц> !dz = 0 при z = - h. (29)
Мы отложим рассмотрение вязких пограничных слоев до разд. 3.5, где (как и
в разд. 2.7) мы обнаружим, что их влияние на волны сводится в основном к
затуханию.
Вычисления с граничным условием (29) отличаются от проведенных в разд.
3.2 только другим специальным выбором решения обыкновенного
дифференциального уравнения (16) для амплитуды Ф (z) синусоидальной волны
общего вида (14). Вместо решения (17), которое стремится к нулю при
больших отрицательных z, выделяется решение, удовлетворяющее условию Ф'
(-h) = 0. Это означает, что в общей линейной комбинации частных решений
уравнения (16)
Ф^2 + Ф,е-*2 (30)
мы имеем
Ф^-''" = Ф^'1, (31)
Полагая обе части равенства (31) равными (1/2) Ф0, мы можем записать
решение в виде
Ф (z) = Ф0 cli [к (z + h)]. (32)
Здесь и далее мы используем классические обозначения для гиперболических
функций
сЬ х = y (ех + е~х), sh х = d (cli x)/dx =
= у (ех - е~х) = cli х ¦ tli х. (33)
Их графики показаны на рис. 51. Заметим, что нулевой наклон графика cli х
при х = 0 подтверждает, что функция (32) удовлетворяет условию Ф'(-К) =
0.
Поскольку уравнение (14) требует (в точности, каквразд. 3.2), чтобы
<?2фIdt2 = - со2ф, то вместе с соотношением (32) это означает, что при z
= 0 выполняется равенство
д<р!dz = [Ф'(0)/Ф(0)1 ф = (к th kh) ф, (34)
так что граничное условие (13) на свободной поверхности дает соотношение
между частотой со и волновым числом к для гра-
268
3. Волны на воде
Рис. 51. Сплошные линии - графики гиперболических функций ch х, sh х, th
х. Штриховая линия - асимптотическое значение th х при больших х, равное
1.
витационных волн на поверхности воды произвольной, но постоянной глубины
h:
со2 = gk th kh. (35)
Полученное дисперсионное соотношение может быть записано через скорость
волны с в виде
с = со Ik = (gk*1 th kh) г/2. (36)
Этот результат согласуется с обоими предельными выражениями, полученными
выше: (g/k)х/2 в пределе для глубокой воды
(kh велико) и (gh)1/2 в пределе для длинных волн (kh мало), поскольку при
этих предельных переходах th kh асимптотически стремится соответственно к
1 и к Jch (рис. 51).
При kh > 1,75 численное значение (th kh)1/2 лежит между 0,97 и 1. С
учетом соотношения Я = 2л/к это означает, что
3.3. Волны на воде постоянной глубины
26"
формула (36) дает для скорости с величину, которая не более чем на 3%
меньше значения для глубокой воды (gk/2л)1/2 при условии, что
h > 0,28 к. (37)
Это условие, необходимое для того, чтобы теория глубокой воды •описывала
дисперсию с хорошей точностью, может показаться удивительным, так как
возмущения, предсказанные этой теорией, уменьшаются на глубине 0,28 к
только до 17% их значения на поверхности. Однако (как мы увидим) более
существенно то, что их вклад в кинетическую энергию (27) (а
следовательно, и инерционный член) уменьшается на том же расстоянихг до
3%.
На другом конце интервала изменения скорости значение {th kh)1/2!(kh)1/2
лежит между 0,97 и 1 при kh < 0,44. С учетом соотношения к - 2л/к это
означает, что выражение (36) дает для скорости с величину, которая не
более чем на 3% меньше, чем значение для длинных волн (gh)1/2, при
условии, что
h < 0,07 к. (38)
Как предсказывалось в разд. 2.2, для того, чтобы скорость волны с хорошей
точностью определялась выражением (gh)1/2, не зависящим от к и выведенным
в предположении существенно одномерного движения, глубина h должна
составлять небольшую часть (менее 7%) длины волны.
Таким образом, зависимость с от к, которая, согласно формуле (36), имеет
вид
с = \(gkl(2n)) th (2лhlk)]12, (39)
значительно отличается от обеих предельных формул только лишь в диапазоне
глубин между 0,07 к и 0,28 к (соответственно в диапазоне длин волн между
14/in 3,5 К). На рис. 52 это демонстрируется графиком зависимости с от к
для фиксированного h по формуле (39); видно, как "параболическая"
предельная зависимость (gk/2л)1/2 для к < 3,5 h плавно переходит к
постоянному асимптотическому значению (gh)1/2 для к > 14 h.
Интересно также представить на графике зависимость скорости волны с от
глубины h при фиксированной частоте со, прежде всего в связи с тем (см.
разд. 3.8), что частота синусоидальных волн на глубокой воде,
приближающихся к береговой линии, при прохождении волнами участков со все
меньшей и меньшей глубиной стремится к постоянной величине (при этом
число гребней волн, достигающих берега за единицу времени, равняется их
числу при приближении к береговой линии).
270
3. Волна на воде
(gh)m
0,5 (gh)'12
2h Ah 6h 8 h Ш 12 h l4h
