Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 52. Зависимость скорости волны с по линейной теории от длины волны к
в воде при постоянной глубине h. Обратите внимание на переход от
зависимости (gk!2nfr2 для случая глубокой воды к зависимости (gh)V2 для
случая длинных волн.
Соотношение (35) после замены к на со/с может быть записано в виде
см/g' = tli (мh/c) (40)
и использовано для определения изменения с при постоянной частоте ш и
постепенном уменьшении h. Очевидно, имеет место переход от предельного
случая глубокой воды, когда правая часть соотношения (40) равняется 1 и с
= g/м, к предельному случаю длинных волн, когда правая часть соотношения
(40) стремится к (шh!c) и тогда с = (gh)1/2. Этот переход можно видеть на
рис. 53.
с
Рис. 53. Зависимость скорости волны с от постепенно меняющейся глубины h
для волн с частотой со. Обратите внимание на переход от зависимости
(gh)1/'2 для случая длинных волн к зависимости gh) для случая глубокой
воды.
с
3.3. Волны на воде постоянной глубины
271'
Рис. 54. Разворот гребней в прибрежных водах с постоянным наклоном дна.
Штриховой линией отмечена кромка воды, пунктирной - место, где глубина
составляет к:(2я) (так что kh = 1).
В разд. 3.2 показано, что волна с периодом, например, 8 с имеет на
глубокой воде скорость с = 12,5 м/с и длину волны к = 100 м. Одпако при
прохождении волны по все более мелкой воде, что соответствует движению
вниз вдоль кривой на рис. 53, и скорость, и длина волны уменьшаются.
Вблизи берега при глубине, скажем, 1 м скорость с уменьшается (для волны
с периодом 8 с) до 3,1 м/с, а X - до 25 м, т.е. в четыре раза.
Гребни приближающихся к берегу волн обычно почти параллельны ему, хотя
они могут быть порождены гребнями волн на глубокой воде, движущихся под
значительным углом к береговой линии. Выравнивание гребней вдоль
направления изобат возле берега является следствием понижения скорости
волны при уменьшении глубины. При движении гребня волны под углом к
береговой линии те его части, которые первыми входят в область
мелководья, замедляют движение, в то время как части па глубокой воде
продолжают быстро двигаться вперед, и в результате гребень
разворачивается (рис. 54).
Выписав некоторые дисперсионные соотношения (для воды произвольной
глубины), мы изучим теперь (как было сделано для глубокой воды в разд.
3.2) связанное с волнами движение воды. Из (14) и (32) получаем
составляющие скорости в горизонтальном и вертикальном направлениях
д<р/дх - - /{/сФ0 ch [k (z + h)]) ехр [i(co? - кх)], (41)
dq/dz = { кФ0 sh [к (z + К)]) ехр [? (соt - кх)], (42)
показывающие, что представленные выражениями в фигурных скобках амплитуды
синусоидальных изменений различны. Из графиков функций sh х и ch х (рис.
51) видна степень различия: обе амплитуды становятся почти равными там,
где к (z + h)
•272
3. Волны на воде
Рис. 55. Траектории частиц жидкости в синусоидальной волне с длиной X,
распространяющейся слева направо по воде глубины h = 0,16Я. Как и на рис.
50, наибольший подъем поверхности составляет 0,02Я. Мгновенные положения
частиц на их эллиптических траекториях показаны здесь только для частиц в
верхнем ряду, однако частицы, находящиеся на одной и той же вертикали,
движутся с одинаковой фазой.
велико, т. е. в пределе глубокой воды (kh велико), за исключением области
вблизи дна z = -h (где движение всегда относительно очень мало). В другом
предельном случае длинных волн (kh мало) амплитуда вертикального движения
остается малой ло сравнению с амплитудой горизонтального движения (как
предполагалось в одномерной теории в гл. 2). Их отношение th[& (z + h)\
изменяется между 0 и th (kh) при -h < z < 0. Эта величина составляет,
например, самое большее 0,41 для волн с h = 0,07 X, для которых
одномерная теория дает скорость волны с ошибкой 3%, а для более длинных
волн погрешность еще меньше.
В каждой фиксированной точке, совсем как для волн на глубокой воде,
колебания составляющих скорости (41) и (42) отличаются по фазе на 90°:
колебания горизонтальной составляющей д<р!дх отстают на 90° от колебаний
вертикальной составляющей dtp/dz (что выражается множителем -i). В
линейной теории те же выражения (41) и (42) записываются для составляющих
скорости жидкой частицы, которая может колебаться с малой амплитудой
около этой точки. Из этого мы можем, как и в разд.3.2, заключить, что
если бы обе амплитуды скорости были равны &Ф0 ch [k (z + h)], то частица
должна была бы описывать окружность радиуса со-1АФ0 ch [к (z + h)].
Однако действительное движение частицы с уменьшенной в th [к (z + h)] раз
амплитудой вертикальной составляющей скорости происходит по круговой
треактории, сжатой в вертикальном направлении в такое же число раз, т. е.
по эллипсу с большой и малой полуосями
со"1 АФ" ch (k(z-\-h)] и со_1А;Фо sh [fe(zД)]. (43)
Рис. 55 иллюстрирует это приближенное описание линейной теорией движения
частиц жидкости в волне длины X на воде с глубиной h = 0,16 X. Это
значение глубины лежит между
3.3. Волны на воде постоянной глубины
