Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Такой минимум появляется из-за влияния на квадрат скорости волны с2 как
поверхностного натяжения, так и тяготения. Скорость становится большой,
когда волновое число к становится соответственно большим или малым. Оба
влияния в точности равны, а суммарный эффект минимален при к = кт.
На рис. 56 для волн на глубокой воде показана графическая зависимость с
от Я (52), из которой следует, что: (i) минимум скорости волны ст
достигается при X = Ят, (ii) при X > 4 Ят данная кривая близка к кривой,
отвечающей гравитационным волнам, (iii) скорость волны снова возрастает,
когда отношение Х/Хт становится очень малым. Когда X < (1/4) Яш, с
погрешностью до 3% верны упрощенные формулы, получающиеся из (51) и (52)
при пренебрежении тяготением:
= p-ifk3, с = (р^Тк)1/2. (57)
Такие волны, в которых единственная значительная восстанавливающая сила
обусловлена поверхностным натяжением, связанным с "капиллярным
притяжением", часто называют "капиллярными волнами".
Капиллярные волны на воде - это волны с X < 4 мм. Их частота со/2л
принимает значения, превышающие 70 Гц, т. е. лежит в акустическом
диапазоне, так что их легко возбудить, ударив по камертону и опустив его
концы в воду. Например, камертон для скрипичной струны А с частотой
со/(2л) = 440 Гц,
278
3. Волны на воде
С
Рис. 56. Скорость волны с для волн ряби на глубокой воде. Обратите
внимание на переход от значения для капиллярных волн (2я7'/(Хр))1/2 к
значению для гравитационных волн {gX;(2n))xP. Он происходит в окрестности
значения Я = Ят, которое соответствует минимальной скорости волны и
дается формулой (55).
в соответствии с формулами (57), генерирует волны с длиной Я = 1,3 мм,
бегущие со скоростью 0,57 м/с. Такие волны наблюдаются на опыте, но
только достаточно близко от концов камертона. По причинам, указанным в
разд. 3.5, волны такой высокой частоты испытывают чрезвычайно быстрое
затухание, и вследствие этого их нельзя увидеть вне круга радиуса в
несколько сантиметров.
Заметим, что характер траекторий частиц жидкости в волнах на глубокой
воде не изменится по сравнению с тем, что изображено на рис. 50, если мы
сделаем замену (50), чтобы учесть влияние поверхностного натяжения. Кроме
того, тем же самым остается предельное значение, которое должна превышать
глубина для обеспечения точности результатов теории глубокой воды. Это
значение порядка длины волны Я, если граничное условие должно
удовлетворяться с повышенной точностью, или - около 0,28 Я, если за
критерий берется выполнение дисперсионного соотношения с точностью 3%
(условие (37)).
По существу это означает, что на воде некоторой "обычной" глубины,
превышающей несколько сантиметров, все волны ряби (длина которых не
может, как мы видели, превышать 7 см) могут считаться волнами на глубокой
воде. Другими словами, влияние конечности глубины (разд. 3.3) и
поверхностного натяжения (разд. 3.4) видоизменяет теорию гравитационных
волн
¦3.4. Волны ряби
279
на глубокой воде (разд. 3.2) в различных интервалах длин волн, а именно в
случаях больших и малых длин волн соответственно.
Тем не менее есть особая причина, в силу которой желательно изучить
дисперсионное соотношение для волн ряби на воде произвольной, но
постоянной глубины, а именно возможность выбора много меньшей, чем
"обычная" глубина воды в волновой кювете с тем, чтобы (разд. 1.7) рябь
имитировала звуковые волны, обладая по возможности малой дисперсией. Идея
состоит в том, что глубина выбирается таким образом, чтобы уничтожить
противодействующие отклонения в екорости от длинноволновой асимптотики:
уменьшение (рис. 52) скорости за счет уменьшения Я до величин, сравнимых
с глубиной, и увеличение ее (рис. 56)| за счет уменьшения Я до величин,
при которых эффективное значение g повышается из-за влияния
поверхностного натяжения.
Действительно, если мы используем замену (50) в (36), мы получим
дисперсионное соотношение для волн ряби на воде произвольной, но
постоянной глубины h:
с* = + р-1 Тк2) A-4h kh. (58)
Разлагая правую часть в ряд по возрастающим степеням к (что соответствует
убывающим степеням величины Я), мы подумаем
gh + ( ~ т ghs + p~iTh )к2 + ° (*4)' (59)
где два слагаемых в множителе при к2 отвечают соответственно двум
противоположным только что упомянутым тенденциям. Очевидно, что они
взаимно уничтожаются при глубине, равной
h = (377pg) Р2 = 5 мм для воды. (60)
В разд. 1.7 упоминалось, что это значение используется при имитации
звуковых волн в волновой кювете.
Из рис. 57, на котором приведены зависимости с от Я = = 2л/к для
различных значений глубины в соответствии с точным дисперсионным
соотношением (58), видно, что при глубине h = 5 мм скорость с сохраняет
значение, близкое к постоянному, при уменьшении длины волны настолько,
насколько это возможно. Точность 3% достигается при значениях Я,
превышающих 2 см (это больше глубины в 4 раза вместо 14 раз по условию
(38) для чисто гравитационных волн). При соответствующей волновой
