Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
через области глубоких вод, то на основании соотношений (20) можно
заключить, что длина этих синусоидальных волн составляет 100 м (что и
соответствует tp = 8 с). В разд. 3.3 и 3.6 мы увидим, что такое
заключение в основе своей правильно. Уменьшение длины волны от таких
больших значений для глубокой воды до величины, в несколько раз меньшей у
самого берега, происходит из-за эффектов, связанных с мелководьем.
Волны на глубокой воде отличаются от "длинных" волн (т. е. волн, длинных
по сравнению с глубиной) прежде всего относительными величинами,
характеризующими движение в вертикальном и горизонтальном направлениях:
если в случае длинных волн движение в вертикальном направлении намного
слабее, чем в горизонтальном (разд. 2.2), то для волн на глубокой воде
они равны по амплитуде. Действительно, из (14) и (17) для составляющей
скорости по оси х (горизонтальная составляющая) и по оси z (вертикальная
составляющая) получаем
dqidx = -НсФ0ек* ехр U (соt - кх)\,
дф/<9z = кФрекг ехр [i (соt - кх)\.
Они меняются со временем синусоидально с одинаковой амплитудой кФ0екг.
Эта амплитуда зависит, конечно, от координаты; как указывалось ранее, она
экспоненциально убывает с расстоянием (-z) вниз от поверхности. Однако в
любой фиксированной точке осциллирующие составляющие вектора скорости,
как видно из формул (21), отличаются только фазами; горизонтальная
составляющая <9ср/дх отстает от вертикальной
3.2. Синусоидальные волны на глубокой воде
263
х
"О в--_xi-- а
о о о о
в О Q О ф
в ю в " в
в " Q 9 Г
Рис. 50. Движение частиц жидкости (по линейной теории) в синусоидальной
волне длины Я, распространяющейся слева направо по глубокой воде.
Наибольший подъем поверхности составляет 0,02?.; частицы на поверхности
описывают окружности с радиусами такой же величины. Частицы, показанные
на глубинах со средними значениями 0.05Я, ОЛЯ. 0.15Я и 0,20Я, описывают
окружности с радиусами 0.0146Я, 0,0106/., 0.0078Я и 0.0057Я
соответственно. В каждом случае показано мгновенное положение частицы на
ее круговой траектории.
dcp!dz на 90е (что выражается множителем -г). Это означает, что вектор
скорости вращается по часовой стрелке, всегда сохраняя одну и ту же
величину кФ0екг, а его вертикальная и горизонтальная составляющие
колеблются со сдвигом фаз в 90°.
Линейная теория синусоидальных волн на глубокой воде предсказывает в
таком случае, что величина скорости жидкости остается в каждой
фиксированной точке постоянной, в то время как направление движения
вращается с угловой скоростью (о. Можно принять, что скорость жидких
частиц, которые могут испытывать смещающие их из данной точки малые
колебания, подчиняется тому же закону, так как, согласно линейной теории,
разностью между малыми значениями скоростей в данной точке и в точке,
смещенной от первой на малое расстояние, можно пренебречь как
произведением малых величин. Таким образом, частица жидкости, смещенная
волной из точки (х, у, z), движется со скоростью, имеющей постоянную
величину /c<D0eft2 н направление, вращающееся с угловой скоростью со.
Другими словами, она описывает окружность радиуса
ш-1АФ0е',г. (22)
Заметим, что, согласно (21), фаза движения не зависит от z, поскольку
множитель ekz везде действителен и положителен. В каждой же вертикальной
плоскости х = const такое движение порождает вращение всех частиц
жидкости с одинаковой фазой, но с различными радиусами, зависящими, как
это видно из (22), от расстояния (-z) вниз от поверхности. При увеличении
х фаза движения, конечно, убывает; ее уменьшение на единицу длины
составляет величину к = 2я/Я. На рис. 50 показано это
264
3. Волны на воде
приближенное в рамках линейной теории движение частиц жидкости в
синусоидальных волнах на глубокой воде.
Избыточная энергия волн на воде (как и звуковых волн), согласно линейной
теории, поровну разделена между: (i) кинетической энергией и (ii)
энергией, связанной с восстанавливающими силами; для гравитационных волн
это потенциальная энергия в поле тяготения pgz на единицу объема *).
Очевидно, что соответствующая величина потенциальной энергии на единицу
площади горизонтальной поверхности в точке, где глубина воды равна h,
получается интегрированием выражения pgz dz от дна z = - h до свободной
поверхности z = ?:
Тогда в этой точке избыточное значение потенциа^гъной энергии в расчете
на единицу площади горизонтальной поверхности по отношению к его значению
на невозмущенной свободной поверхности (? = 0) дается выражением
которое, как и следует ожидать в линейной теории, пропорционально
квадрату отклонения от состояния устойчивого равновесия. Заметим, что в
то время как повышение свободной поверхности порождает вклад в
потенциальную энергию за счет добавления нового слоя жидкости над
поверхностью z = 0 (что соответствует положительной потенциальной
энергии), понижение свободной поверхности дает вклад в потенциальную
энергию за счет удаления жидкости ниже уровня z = 0 (что соответствует
