Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лайтхилл Дж. -> "Волны в жидкостях" -> 115

Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.

Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях — М.: Мир, 1981. — 603 c.
Скачать (прямая ссылка): volnivjitkosytyah1981.djvu
Предыдущая << 1 .. 109 110 111 112 113 114 < 115 > 116 117 118 119 120 121 .. 242 >> Следующая

пропорциональную квадрату длины волны. Таким образом, она важна только
для достаточно коротких волн, называемых волнами ряби. Практически это
волны с длиной, меньшей приблизительно 0,1 м, для которых, однако, как мы
увидим, поправка существенно меняет характер дисперсионного соотношения.
Простейшее определение поверхностного натяжения Т получается из
рассмотрения двух соседних элементов поверхности жидкости, разделенных
прямолинейной границей. Они действуют друг на друга с равными и
противоположными силами Т на единицу длины этой границы под прямым углом
к ней. Здесь Т измеряется в ньютонах на метр; для воды Т = 0,074 Н/м.
Перед тем как кратко описать связь этого представления с общей физикой
жидкостей, мы покажем, насколько просто с его помощью можно
модифицировать теорию поверхностных волн.
Для бегущих в направлении оси х волн с длинными греб-
нями сила Т, приходящаяся на единицу длины границы, параллельной гребням
волн (т.е. оси у), имеет вертикальную составляющую, которая в линейной
теории может быть записана в виде
Тд Удх (46)
и которая представляет собой малую составляющую в направлении оси z силы
Т, действующей по касательной к поверхности с тангенсом угла наклона
dt,!dx. Из этого следует, что на полосу водной поверхности, ограниченную
двумя прямыми, отстоящими друг от друга на расстояние бх, действует
суммарная вертикальная сила
Т (д2 Удх2) бх, (47)
представляющая собой разность величин вертикальных составляющих силы
натяжения, выражаемых по формуле (46) в точке, скажем, х + бх, и
противодействующей силы в точке х. Так как площадь такой полосы водной
поверхности ширины бх и единичной длины составляет бх, то действующая на
нее направленная вверх сила на единицу площади должна быть равна Тд2Удх2.
Она, очевидно, должна быть уравновешена силой давления воздуха,
превышающего давление воды на поверхности. Инерционные члены не входят в
уравнение такого баланса, поскольку в тонком поверхностном слое масса на
единицу площади стремится к нулю при уменьшении толщины слоя.
Граничное значение давления воды р0 + ре меньше, таким образом,
атмосферного на величину Td2tjdx2, пропорциональ-
18*
276
3. Волны, на воде
ную линейной аппроксимации кривизны поверхности. Вместе с
гидростатическим соотношением р0 = ра - рgz это означает, что при z = ?
избыточное давление будет
Ре = Pgl - Тд2Цдх2. (48)
Для синусоидальных волн с волновым числом к = 2я/А граничное условие (48)
принимает более простой вид:
Ре = (Рg + Тк2) ?. (49)
Здесь можно было бы просто повторить все доводы, приведенные при выводе
формул (6) - (13) для поверхностных гравитационных волн, начав, однако, с
этого видоизмененного граничного условия (49), а не с условия (6). Тогда
дисперсионное соотношение выводилось бы последовательно тем же способом,
что и соотношение (18) для случая глубокой воды или соотношение (35) для
воды произвольной, но постоянной глубины. Однако полный вывод был бы
напрасной тратой времени!
Все можно сделать гораздо быстрее: формула (49) имеет такой же вид, что и
(6), если в ней
g заменить на g -f p~lk2T. (50)
Это значит, что для синусоидальных волн с волновым числом к влияние
поверхностного натяжения точно такое же, как влияние увеличения ускорения
свободного падения g в соответствии с заменой (50). Поэтому мы можем
определить все свойства волн, как только сделаем такую замену в выводах
преды-дутцего* раздела.
В частности, выраженное через частоту дисперсионное соотношение (18) для
поверхностных волн на глубокой воде с учетом поверхностного натяжения и
тяготения путем подстановки в него выражения из (50) становится таким:
(о2 = (g + р-'Тк2) к, (51)
тогда как формула для скорости волны (19) принимает вид
с = l(g + р^Тк2)/к]У2. (52)
Заметим, что в этих формулах влияние замены (50) будет пренебрежимо мало,
когда поправочный член р_1Тк2, обратно пропорциональный, как указывалось
ранее, квадрату длины волны X = 2п/к, будет очень мал по сравнению с
самой ве-личной g, т. е. если к мало по сравнению с
кт = (Р glTf/2- (53)
Это условие того, чтобы волны по существу были чисто гравитационными в
смысле сравнительной малости поверхностного
3.4. Волны, ряби
277
натяжения, эквивалентно требованию, чтобы длина волны X была велика по
сравнению с
Хт = (2л!кт) = 2л (T/(pg))V\ (54)
Например, для воды при Т = 0,074 Н/м и р = 1000 кг/м* получаем
кт = 360 м-1 и Хт = 0,017 м, (55)
т. е. подтверждается высказанное ранее утверждение о том, что волны,
длина которых превышает 0,1 м, являются чисто гравитационными.
Действительно, ошибка при вычислении значения (g/k)х/2 для гравитационных
волн составляет менее 3%, если X > 0,07 м. Термин "волны ряби" будет
относиться к волнам, для которых влияние поверхностного натяжения
значительно, т. е. к волнам с длиной менее 7 см.
Выбор индекса m связан с тем, что формула (52) для скорости волны
принимает при к - кт (или X = Хт) минимальное значение:
с = сш = (2g/kmy/2 = 0,23 м/с для воды. (56)
Предыдущая << 1 .. 109 110 111 112 113 114 < 115 > 116 117 118 119 120 121 .. 242 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed