Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
(44,5) на ___
(Nn-l\cn\Nn)=^Nn
'(и заменой остальных величин их комплексно-сопряженными). Этот обратный переход представляет собой поглощение фотона системой, переходящей с уровня Ef на уровень Поэтому между вероятностями испускания и поглощения фотона (для заданной пары состояний г, /) имеет место важное соотношение ‘)
J^L = Z?L±1 (44 6)
ш(погл> Na У ’ ’
'(оно было впервые указано А. Эйнштейном в 1916 г.).
Свяжем число фотонов с интенсивностью падающего извне на систему излучения. Пусть
/ke da do (44,7)
есть энергия излучения, падающего в единицу времени на единицу площади и имеющего поляризацию е, частоту — в интервале da и направление волнового вектора — в элементе телесного угла do. Указанным интервалам отвечают k2 dk do/(2л)3 осцилляторов поля, на каждый из которых приходится по фотонов заданной поляризации. Поэтому ту же энергию (44,7) мы получим, составив произведение
k2dkdo . fta>3 j j
С (2я)3 — дязс2 '* ke d(A do.
Отсюда находим искомое соотношение:
(44,8)
*) Ниже в этом параграфе пользуемся обычными единицами.
§ 45] ДИПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ 193
Пусть dw(ксеп) есть вероятность спонтанного излучения фотона с поляризацией е в телесный угол do; индексами (инд) и (погл) отметим аналогичные вероятности для индуцированного испускания и поглощения. Согласно (44,6) и (44,8) эти вероятности связаны между собой следующими соотношениями:
ОпЗл2
dw\погл) = ^(инд) = ^(сп) ___ /ке< (44,9)
Если падающее излучение изотропно и не поляризовано (/ке не зависит от направлений к и е), то интегрирование (44,9) по do и суммирование по е дают аналогичные соотношения между полными вероятностями радиационных переходов (между заданными состояниями t и / системы)
ауОтогл) = ц/инд) _ ц/СП) /> 1 (44,10)
где / = 2 • 4л/ке — полная спектральная интенсивность падающего излучения.
Если состояния t и f излучающей (или поглощающей) системы вырождены, то полная вероятность излучения (или поглощения) данных фотонов получается суммированием по всем взаимно вырожденным конечным состояниям и усреднением по всем возможным начальным состояниям. Обозначим кратности вырождения (статистические веса) состояний i и f посредством gt и gf. Для процессов спонтанного и индуцированного испускания начальными являются состояния /, а для поглощения — состояния /. Предположив в каждом случае все gi или gf начальных состояний равновероятными, получим, очевидно, вместо
(44,10), следующие соотношения:
2 2
gfW(nom _ g.w(ИНД) _ giW(СП) ?L?_ / (44,1 I)
В литературе часто используются так называемые коэффициенты Эйнштейна, определяемые как
Alf = wicn), В^ = и/инд) —, Bfi = и/погл> у (44,12)
(величина Цс есть пространственная спектральная плотность энергии излучения). Они связаны друг с другом соотношениями
gfBf^gAf^g^f^-. (44,13)
§ 45. Дипольное излучение
Применим полученные формулы к испусканию фотона релятивистским электроном в заданном внешнем поле. Ток перехода в этом случае есть матричный элемент оператора
/ ==
194
ИЗЛУЧЕНИЕ
[ГЛ. V
в котором г|э-операторы предполагаются разложенными по системе волновых функций стационарных состояний электрона в данном поле (см. § 32). Переходу электрона из состояния i в
состояние f отвечает матричный элемент (0*1^ |/1 ljOf). Такое изменение чисел заполнения осуществляется оператором и
для тока перехода получаем
/7г = ^у/Ч( = (г|у|>г, ^аг|5(), (45,1)
где iJjj и % — волновые функции начального и конечного состояний электрона.
Выберем волновую функцию фотона в трехмерно поперечной калибровке (4-вектор поляризации е= (О, е)). Тогда в (43,10) произведение jjie' == — j^e*. Подставив Vfl в (44,4), получим следующую формулу для вероятности излучения (в 1 с) в элемент телесного угла do фотона с поляризацией е:
dwe„ = e2-^- \ e'jfi (k) f do, (45,2)
где
jfi (k) = ^ d3x. (45,3)
Суммирование по поляризациям фотона осуществляется путем усреднения по направлениям е (в плоскости, перпендикулярной заданному направлению п = k/a>), после чего результат умножается на 2 соответственно двум независимым возможностям поперечной поляризации фотона '). Таким образом, получается формула
dwn = [njfi(k)] fdo. (45,4)
Очень важен случай, когда длина волны фотона К велика
по сравнению с размерами излучающей системы а. Такая си-
туация связана обычно с малостью скоростей частиц по сравнению со скоростью света. В первом приближении по а/Х (соответствующем дипольному излучению — ср. II, § 67) в токе перехода (45,3) можно заменить единицей множитель e~ikr, мало меняющийся в области, где г|э* или % заметно отличны от нуля.
!) Для усреднения используется формула
*<4 =\(bik-nink) (45-4а>
ИЛИ
(ае) (be*) = у {ab — (ап) (Ьп)) = у [ап1 [Ьп], (45,46)
где а, b — постоянные векторы.
ДИПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
195
Такая замена означает, другими словами, пренебрежение импульсом фотона по сравнению с импульсами частиц в системе.
В том же приближении интеграл (0) может быть заменен его нерелятивистским выражением, т. е. просто матричным элементом \fi скорости электрона по отношению к шредингеров-ским волновым функциям. В свою очередь этот элемент Vf, = = —iarfi, a erfi = dfi, где d — дипольный момент электрона (в его орбитальном движении). Таким образом, находим следующую формулу для вероятности дипольного излучения:
