Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
г ___. д „ ______ . д „ А ________¦ ( д д \
Р1 gx\ > Р2 1 дх2 > Ро ИЗ 1 ^ ^0 gx3 J
с собственными значениями ри р2, ро — р3 (сами же эти операторы, как легко видеть, коммутативны с гамильтонианом уравнения Дирака). Таким образом, в данной системе отсчета р1, р2—компоненты обобщенного импульса вдоль осей х1, х2, а ро — рЗ — разность между полной энергией и компонентой обобщенного импульса вдоль оси х3.
При подстановке (40,5) в (40,4) замечаем, что
d>F==pF't d^F = k2F'=; о,
и находим для F(<p) уравнение
21 (kp) F' + [- 2е (рА) + е2А2 - ie (yk) (уЛ')] F = 0.
Формальное решение этого уравнения F=exp{-/1 Г-5-(рЛ)-------------?1_Л21с/Ф + ^)М1} « ,
( j 1т 2 {kp) ] * 2 {kp) J V2po
где и/л/2р0 — произвольный постоянный биспинор (о форме его записи см. ниже).
Все степени (y^My^) выше первой равны нулю, поскольку
(yk) (уA) (yk) (уА) =
= - (y*) (y*) М) (y^4) + 2 (kA) (yk) (уA) = - k2A2 = 0.
Поэтому можно заменить
178
ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
[ГЛ. IV
так что г|з принимает вид
^—[1+?<ibr(v4) (v'4)] vfer e‘s’
где *)
kx
s=-P*-\-m [{рА) ~ i А2]rf(p-
о
Для выяснения условий, налагаемых на постоянный биспинор и, следует считать, что волна бесконечно медленно «включается», начиная от t = —оо. Тогда Д->0 при kx-*—оо и -ф должно переходить в решение свободного уравнения Дирака. Для этого и = и(р) должно удовлетворять уравнению
(Y р — т)и = 0. (40,9)
Этим условием отбрасываются «лишние» решения уравнения второго порядка. Так как и не зависит от времени, это условие остается в силе и при конечных kx. Таким образом, и(р) совпадает с биспинорной амплитудой свободной плоской волны; будем предполагать ее нормированной тем же условием (23,4); йи — 2т.
Изложенные рассуждения позволяют также сразу выяснить нормировку волновых функций (40,7). Бесконечно медленное включение поля не меняет нормировочного интеграла. Отсюда следует, что функции (40,7) удовлетворяют тому же условию нормировки
5 'K’^Pd3x = ^ 'М°‘Фр<*3л: = (2л)3 6 (р' — р), (40,10)
что и свободные плоские волны.
Найдем плотность тока, отвечающую функциям (40,7). Заме- -тив, что
прямым перемножением получим
Г = Ы%-^{?-е^ + кГ{^-Тт)}- №1)
Если /4**(<р) периодические функции и их среднее (по времени) значение обращается в нуль, то среднее значение плотности тока __
<40-12>
¦) Выражение для S совпадает с классическим действием для частицы, движущейся в поле волны — ср. II, § 47, задача 2.
(40.7)
(40.8)
§41] ДВИЖЕНИЕ СПИНА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ 179
Найдем также плотность кинетического импульса в состоянии г|зр. Оператор кинетического импульса есть разность
р — еА = id — еА. Прямым вычислением найдем
¦ф’р (Р“ — еА?) ij)p = %у° (рц — еА11) =
• &) + **&* Мл*»).
(40,13)
Среднее по времени значение этого 4-вектора, которое обозна-чим qесть _
f-f-iт*- («.14)
Его квадрат: __________
q2 = m% т. = т 1—^ А2 ; (40,15)
т„ играет роль «эффективной массы» электрона в поле. Сравнив
(40,14) и (40,12), мы видим, что,
Г = //Ро. (40,16)
Отметим также, что условие нормировки (40,10), выраженное с помощью вектора q, имеет вид
\ ^V*** “ (2л)3 77 6 (ч' — Ч) (40,17)
^переход от (40,10) к (40,17) проще всего произвести в указанной выше специальной системе отсчета).
§ 41. Движение спина во внешнем поле
Переход к квазиклассическому приближению в уравнений Дирака производится так же, как и в нерелятивистской теории. В уравнение второго порядка (32,7а) подставляем ^ в виде *)
1)¦> = ueiSlh,
где S — скаляр, и — медленно меняющийся биспинор. При этом предполагается выполненным обычное условие квазиклассично-сти: импульс частицы должен мало меняться на расстояниях порядка длины волны /г/|р|.
В нулевом приближении по h получается обычное классическое релятивистское уравнение Гамильтона — Якоби для действия S. При этом все члены, содержащие спин (и пропорциональные Й), выпадают из уравнений движения. Спин появился
*) Пользуемся сначала обычными единицами.
180
ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
[ГЛ. IV
бы лишь в следующем приближении по h. Другими словами, влияние магнитного момента электрона на его движение — всегда того же порядка величины, что и квантовые поправки. Это вполне естественно ввиду чисто квантовой природы спинового момента, который пропорционален %.
В связи с такой ситуацией приобретает смысл постановка задачи о поведении спина электрона, совершающего заданное квазиклассическое движение во внешнем поле. Решение этой задачи содержится в следующем приближении по h в уравнении Дирака. Мы применим, однако, другой способ, более наглядный и не связанный непосредственно с уравнением Дирака. Он обладает тем преимуществом, что позволяет рассматривать движение любой частицы, в том числе обладающей «аномальным» гиромагнитным отношением, не описываемым уравнением Дирака.
Наша цель состоит в установлении «уравнения движения» для спина при произвольном (заданном) движении частицы. Начнем с нерелятивистского случая.
Нерелятивистский гамильтониан частицы во внешнем поле
Н = Н' — [хоН, (41,1)
где в Й' включены все члены, не содержащие спина (см. III, § 111); [х— магнитный момент частицы. Этот вид гамильтониана не связан с определенным сортом частиц. Для электронов
