Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
\i = еН12тс (заряд электрона е = —jе|!), а у нуклонов [х содержит еще и «аномальную» часть ')
I*'= !*-¦&¦• <41’2»
Согласно общим правилам квантовой механики операторное уравнение движения спина получается из формулы
8=|(Я8-8Я) = -^-(Яо-оЯ). (41,3)
Подставив сюда (41,1), найдем
2ft ^^ &iklHk®h
ИЛИ
® ~ If [®Н]. (41,4)
Усредним это операторное равенство по состоянию квази-классического волнового пакета, движущегося вдоль заданной
') С учетом радиационных поправок очень малая «аномальная часть» содержится также и в магнитном моменте электрона.
ДВИЖЕНИЕ СПИНА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
181
траектории. Эта операция сводится к замене оператора спина его среднем значением s, а вектора Н — функцией Н (t), представляющей собой изменение магнитного поля в точке нахождения частицы (волнового пакета) при ее заданном движении вдоль траектории. В нерелятивистском приближении, т. е. в рамках уравнения Паули, s = а/2 есть оператор спина частицы в ее системе покоя, среднее значение которого мы обозначили в § 29 как ?/2. Таким образом, мы приходим к уравнению
4—rRHMl- <4|'5>
В таком виде это уравнение имеет, по существу, чисто классический характер. Оно означает, что вектор магнитного момента прецессирует вокруг направления поля с угловой скоростью —2цН//г, оставаясь неизменным по величине ').
В том же нерелятивистском случае скорость v частицы меняется согласно уравнению
dv 6 г ¦¦ 1
~df~ ~тс^
т. е. вектор v вращается вокруг направления Н с угловой скоростью еН/тс. Если ц' = 0, то ц = eh/2mc, и эта угловая скорость совпадает со скоростью —2цН/Й вращения вектора ?; другими словами, вектор поляризации сохраняет постоянный угол с направлением движения (мы увидим ниже, что этот результат остается в силе и в релятивистском случае).
Произведем теперь релятивистское обобщение уравнения
(41,5). Для ковариантного описания поляризации надо при этом пользоваться введенным в § 29 4-вектором а, а уравнение движения спина должно определять производную da/dx по собственному времени т2).
Возможный вид этого уравнения может быть установлен уже из соображений релятивистской инвариантности, если учесть, что его правая часть должна быть линейна и однородна по тензору электромагнитного поля F^ и по 4-вектору а11, а, помимо них, может содержать только 4-скорость и» = pv-/m. Этим
*) Классически уравнение (41,5) получается непосредственно из равенства
dtA/dt = [цН],
гд? М — момент импульса системы, ц — ее магнитный момент, [М-Н] — действующий на систему момент сил. Положив M = -yft?, Ц = -^-? = ц?, получим (41,5).
2) Ниже снова полагаем с = 1, А = 1.
182
ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
[ГЛ. IV
условиям удовлетворяет лишь уравнение вида
^- = a^4 + P^V4%, (41,6)
где а, р — постоянные коэффициенты. Легко видеть, что в силу условия = 0 и антисимметричности тензора (так что
F^u^u-v = 0) никаких других выражений требуемого вида составить нельзя.
При v0 это уравнение должно совпадать с (41,5). Положив ам- — (0, ?), = (1, 0), т — t, получим
¦§- = «№
Сравнив с (41,5), найдем: a = 2\i.
Для определения р учтем, что = 0. Продифференцировав это равенство по т и воспользовавшись классическим уравнением движения заряда в поле
dtP л . IL V
т —г— = eF и
V
dx
(см. II, § 23), получим
da** du** е „uv е rtiv
и., •—— = — a„ —j— = — au — F uv — — F u„av.
v- dx v- dx ** m v m
Поэтому, умножив уравнение (41,6) с обеих сторон на ир., учтя
равенство и^ — 1 и сократив общий множитель F^u^a^, получим
Таким образом, находим окончательно релятивистское уравнение движения спина
= 2ц/^Ч - 21*(41,7)
(V. Bargmann, L. Michel, V. Telegdi, 1959)1).
Перейдем от 4-вектора а к величине ?;, непосредственно характеризующей поляризацию частицы в ее «мгновенной» системе покоя; связь между а и ?; дается формулами (29,7—9). Сразу же отметим, что из (41,7) автоматически следует, что a.\idail/dx= = 0, т. е. = const. Поскольку — —?2, это означает естественный результат: при движении частицы ее поляризация ? остается неизменной по величине.
•) В другом виде подобное уравнение было впервые найдено Я. И. Френ~
келем (1926),
§41] ДВИЖЕНИЕ СПИНА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ 183
Уравнение, определяющее изменение направления поляризации, получим, перейдя в (41,7) к трехмерным обозначениям. Раскрыв пространственные компоненты этого уравнения, найдем
W ~ ~^е~ [аН] + (av) Е — v (аЕ) +
+ v (v [аН]) + v (av) (vE).
Сюда надо подставить (29,9), учитывая при дифференцировании равенства р = ev, е2 = р2 + т2 и уравнения движения
*L = eE + e[vH], -g=e(vE). (41,8)
Элементарное, хотя и довольно длинное вычисление приводит к следующему уравнению ’):
= 2цт + 2^(е-«) [5Н] + _2??_ (уН) [v5]+[6 [Еу] ].
(41,9)
Особый интерес представляет не столько изменение абсолют-ного направления поляризации в пространстве, сколько его изменение по отношению к направлению движения. Представим g в виде
С = пС, + Сх (41,10)
(где n = v/y) и выпишем уравнение для проекции поляризации на направление движения. Вычисление с помощью (41,8—9) приводит к следующему результату2):
dt, 2 f am2 Д
= 2ц (6Х [Нп]) + - - ц') (?ХЕ). (41,11)
