Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
dwtn = ^~\tAftfdo (45,5)
'(направление п фигурирует здесь в неявном виде: вектор е должен быть перпендикулярен п). Просуммировав по поляризациям, получим
dwn - ¦— | [ndfi] р do. (45,6)
Ввиду нерелятивистского (по отношению к электрону) характера этих формул их обобщение на любые электронные системы
очевидно: под dц надо понимать матричный элемент полного дипольного момента системы.
Проинтегрировав формулу (45,6) по всем направлениям, найдем полную вероятность излучения:
tt’=="irl dfi 12> (45>7)
или в обычных единицах:
= (45’7а>
Интенсивность I излучения получается умножением вероятности на Йы:
/ = 4g-|dfl.p. (45,8)
Эта формула обнаруживает непосредственную аналогию с классической формулой (см. II (67,11)) для интенсивности дипольного излучения системой периодически движущихся частиц: интенсивность излучения частоты ©s = s© (где © — частота движения частиц, s — целое число) равна
196
ИЗЛУЧЕНИЕ
(ГЛ. V
где ds — компоненты Фурье дипольного момента, т. е. коэффициенты разложения
d (/) = Z dse-^. (45,10)
5= — ОО
Квантовая формула (45,8) получается из (45,9) заменой этих компонент Фурье матричными элементами соответствующих переходов. Это правило (выражающее собой принцип соответствия Бора) является частным случаем общего соответствия между компонентами Фурье классических величин и квантовыми матричными элементами в квазиклассическом случае (см. III, §48). Излучение квазиклассично для переходов между состояниями с большими квантовыми числами; при этом частота перехода Йю = Ei — Е; мала по сравнению с энергиями излучателя ?; и Ef. Это обстоятельство, однако, не привело бы к каким-либо изменениям в виде формулы (45,8), справедливой, для любых переходов. Этим объясняется тот (в известном смысле случайный) факт, что принцип соответствия для интенсивности излучения оказывается справедливым не только в квазиклассическом, но и в общем квантовом случае.
§ 46. Электрическое мультипольное излучение
Вместо того чтобы рассматривать излучение фотона в заданном направлении (т. е. с заданным импульсом), рассмотрим теперь излучение фотона с определенными значениями момента / и его проекции m на некоторое избранное направление г. Мы видели в § 6, что такие фотоны могут быть двух типов — электрического и магнитного; начнем с излучения фотонов электрического типа. При этом снова будем считать размеры излучающей системы малыми по сравнению с длиной волны.
Вычисления удобно производить с помощью волновых функций фотона в импульсном представлении, т. е. представив 4-вектор Л^(г) в виде интеграла Фурье. Тогда матричный элемент
Vfi = e^ffi(r)Al(r)(Px = e^d?x-fti(r)^-j^?A* (k)e"'kr (46,1)
(для упрощения записи формул опускаем индексы a>jm у волновых функций фотона).
Для ?/-фотона берем волновую функцию из (7,10), выбрав произвольную постоянную С равной
c—'JW-
Цель такого выбора состоит в том, чтобы в пространственных компонентах волновой функции (А) сократились члены, содер-
§ 461 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ МУЛЬТИПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ 197
жащие шаровые функции порядка /— 1 (как это видно из формул (7,16)). Тогда А будет содержать только шаровые функции порядка / + 1, в результате чего соответствующий вклад в Vfi окажется (как это будет очевидно из дальнейшего вычисления) более высокого порядка малости (по а/%), чем вклад от компоненты Л° s ф, содержащей шаровые функции более низкого порядка /.
Таким образом, полагаем
Х = (Ф, 0), Ф = - д/1±±^б(|к|-и)У/(П(п)
(п = к/со). Подставив это выражение в (46,1) и проинтегрировав по |к|, получим
VH = — е д/~2jT S ‘ Р» S done-lkrY'lm (п). (46,2)
Для вычисления внутреннего интеграла воспользуемся разложением (24,12), записав его в виде
оо /
г'и=4»1 Z <46>3)
/=0 т=—/
где
(46>4)
(см. III (34,3)) J). Подставив это разложение в (46,2), получим
\ е-(n) do„ = Ы-'g, (kr) Г1т (i)
(остальные члены обращаются в нуль ввиду ортогональности шаровых функций). В силу условия а/Х <С 1 в интеграле по d3x будут играть роль лишь расстояния, для которых kr <С 1. Поэтому можно заменить функции g/(kr) первыми членами их разложений по kr 2)s
*/<w~wrfe- <46’5»
’) Нормировка функций g, такова, что их асимптотический вид при kr-*- оо
. sin (kr — л1/2) ... , .
8t (kr) «-----!——------(46,4а)
г) Степень kr совпадает с порядком функции Y/m, в произведении с которой выступает gt. Тем самым оправдывается пренебрежение членами в А, содержащими шаровые функции более высокого порядка.
198
ИЗЛУЧЕНИЕ
[ГЛ V
В результате получим
»'„=(- irv ^/Si±^TW (2;+ |',п *№’--»)«¦ (ад
где введены величины
{Q]m)fi = Л/-ЩТ SPfi ^ r'Yi,n (т") d3x ^46,7^
(напомним, что У;. _т = (—1)/_тУ*.т). Величины (46,7) называют Я-польными электрическими моментами перехода системы по аналогии с соответствующими классическими величинами (П, §41) 1).
Для электрона во внешнем поле pfl = 113*%, и тогда величины
(46,7) вычисляются как матричные элементы от классической величины _______
QO) = а / 4я rfY
Л/ 2/+1 im-
В нерелятивистском (по скоростям частиц) случае момент
перехода может быть в принципе вычислен аналогичным образом для любой системы N взаимодействующих частиц. При этом плотность перехода выражается через волновые функции системы в виде
