Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
Согласно (2,15) матричные элементы
(N. - 11 с, | N,) = <Л/„ | с* | N. — 1) = фГ„. (43,5)
Если в начальном состоянии поля фотоны (сорта п) отсутствуют, то (1|с+|0)=1. Матричный элемент оператора (43,3) для испускания фотона
М0 = е$(/И»К*’ (43,6)
где Ап(х) — волновая функция излучаемого фотона, a 'jft — матричный элемент оператора / для перехода излучателя из начального состояния i в конечное /2). 4-вектор jfi = (рц, jfi) называют током, перехода.
*) Независимо от этих рассуждений укажем, что если речь идет лишь
о поправке первого порядка малости, то всякая малая поправка к лагранжиану переходит в гамильтониан лишь с изменением своего знака (см. I, § 40).
г) Обозначения в (43,6) содержат некоторую непоследовательность: индексы у Vh относятся к состоянии всей системы «излучатель + поле», а у
hi — к состояниям одного излучателя.
190 ИЗЛУЧЕНИЕ [ГЛ. V
Аналогичным образом получается матричный элемент для поглощения фотона:
УпУ) — е\ UuAn)d3x- (43>7)
Он отличается от (43,6) лишь тем, что вместо Л* (*) стоит Ап{х).
Указанием аргумента t у Vfi мы подчеркиваем, что речь идет
о зависящем от времени матричном элементе. Выделив в волно-
вых функциях временные множители, можно обычным образом перейти к независящим от времени матричным элементам:
Iffi(t) = Vfte-i(Ei-Ef*°)t (43,8)
'(?*, Ef — начальная и конечная энергии излучающей системы; знаки =F соответствуют испусканию и поглощению фотона со).
Волновая функция фотона с определенным импульсом к и определенной поляризацией
А* = У 4л" -?= eitr (43,9)
V2co
'(см. (4,3); временной множитель опущен). Подставив в (43,6), найдем матричный элемент для испускания такого фотона в виде
Vfi = e^-^=e^i(k), (43,10)
V2co
где jft (k) — ток перехода в импульсном представлении, т. е. компоненты Фурье
ifi (k) = J ifi (г) <?~'кг d3x. (43,11)
Аналогичная формула для поглощения фотона:
= y=«n/fi(-k). (43,12)
Уравнение сохранения тока в импульсном представлении записывается в виде условия 4-поперечности токов перехода:
Kin = “ри №) - kjfi (k>= 0. (43,13)
Написанные в этом параграфе формулы, в которых не предопределен вид оператора тока, имеют общий характер и справедливы для электромагнитных процессов с участием любых заряженных частиц. Существующая теория дает возможность
установить вид оператора тока (и тем самым в принципе вычис-
лить его матричные элементы) лишь для электронов. При применении же к системам сильновзаимодействующих частиц (в том
ИСПУСКАНИЕ И ПОГЛОЩЕНИЕ
191
числе к ядрам) мы ограничимся изложением полуфеноменологи-ческой теории, в которой токи перехода выступают как заимствуемые из опыта величины, удовлетворяющие лишь общим требованиям пространственно-временной симметрии и уравнению непрерывности.
§ 44. Испускание и поглощение
Вероятность перехода под влиянием возмущения V в первом приближении дается известными формулами теории возмущений (III, § 42). Пусть начальное и конечное состояния излучающей системы относятся к дискретному спектру *). Тогда вероятность (в единицу времени) перехода i-*-f с испусканием фотона есть
dw = 2n\Vfi\2b{El-Ef-«>)dv, (44,1)
где v условно обозначает совокупность величин, характеризующих состояние фотона и пробегающих непрерывный ряд значений (при этом волновая функция фотона предполагается нормированной на 6-функцию «по шкале v»).
Если испускается фотон с определенным значением момента, то единственной непрерывной величиной является частота о. Интегрирование формулы (44,1) по dv = du> устраняет 6-функцию (заменяя и определенным значением и = Ei — Ef), и тогда вероятность перехода
до = 2я| V/, р. (44,2)
Если же рассматривается испускание фотона с заданным импульсом к, то dv — d3k/(2л)3 = о»2 da> do/ (2я)3. При этом предполагается, что волновая функция фотона (плоская волна) нормирована на один фотон в объеме V = 1, как это принято везде
в этой книге; dv есть число состояний, приходящихся на фазо-
вый объем V d3k. Таким образом, вероятность испускания фотона с заданным импульсом запишется в виде
^ = 2niyf<F6(?,-?f-(o)^-, (44,3)
или после интегрирования по du>:
dw = ~fi?\ Vf‘ I2®2**0- (44>4)
Сюда должен быть подставлен матричный элемент V/,- из
(43,10).
В следующих параграфах мы воспользуемся этими формулами для вычисления вероятности излучения в различных конкрет-
') Тем самым, во всяком случае, подразумевается пренебрежение отдач чей: излучатель как целое остается неподвижным.
192
ИЗЛУЧЕНИЕ
[ГЛ. V
ных случаях. Здесь мы рассмотрим некоторые общие соотношения между различными видами радиационных процессов.
Если в начальном состоянии поля уже имелось отличное от нуля число Nn данных фотонов, то матричный элемент перехода умножается еще на
<^+Чс«+1^) = Л/ЛйГТ> <44>5>
т. е. вероятность перехода умножается на Nn -f- 1. Единица в этом множителе отвечает спонтанному испусканию, происходящему и приЛ^г = 0. Член же ^„обусловливает вынужденное (или индуцированное) испускание: мы видим, что наличие фотонов в начальном состоянии поля стимулирует дополнительное испускание таких же фотонов.
Матричный элемент Уц перехода с обратным изменением состояния системы (f-*~i) отличается от элемента Уц заменой
