Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
(Х\9ЩХ')^6и„ (Mf [ p(f> [ M'f^ —> • (48,7)
§ 48] УГЛОВОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ 207
Таким образом, угловое распределение w (n) = +—¦ Z S (~l)m'+l (2L+\)D$(n)X
ол L (т)
v (' > L\( > > 1 \ ( Jf 1 W
''чЯ, —Я, 0 j V ш — т' — ц. / V —Mf —т М( )
х(-и, мО <Л1'I р<‘) I А,*>'
Эту формулу можно существенно упростить, произведя суммирования по т-индексам.
Прежде всего замечаем, что
(i л о)-<-‘>чл l «)• <4зд
и потому сумма
? (1 1 М = (2й -1 °L) при четных и
Л“±1 ~^ 0 ' \ о при нечетных L.
Таким образом, в сумме по L остаются лишь члены с четными L, т. е. в нее входят шаровые функции (Вщ?) лишь четных порядков. Этот результат можно было предвидеть: в силу сохранения четности вероятность должна быть инвариантна по отношению к инверсии, т. е. к замене п->—п.
Таким образом,
e(B)=M±jm±M ?(2i+i)(; д 5)вй’(п)х
xS(-ir'+,(i J„- ДЛСЛ In i‘,)x
x(-i, -L- iOwK’w-
Отметим, что здесь легко проверить нормировку: в силу формулы
$ Д&Чп) ™ 6,06,0
после, интегрирования по направлениям остается лишь член о L — ц = 0; с помощью формул
(> I °U(-i у-т_____________1_
U —m 0 ) I V27TT *
У( Jf I Ji Y = - 1 Spp<‘>=1
-m Mi) 2Jt + 1 ’ *PP 1
Mfm
.убедимся, что интеграл равен 1.
204
ИЗЛУЧЕНИЕ
[ГЛ. V
определенными значениями момента /, уо и определенными поляризациями, т. е. значениями М.
Рассмотрим теперь более общий случай излучения частично поляризованным ядром (размеры которого по-прежнему предполагаются малыми по сравнению с длиной волны). Испускаемый фотон по-прежнему обладает определенным моментом /, но может быть частично поляризован. Найдем вероятность испускания как функцию направления п фотона. Она должна быть выражена через матрицы плотности, описывающие поляризационные состояния ядра и фотона.
Для этого предварительно напишем вероятность испускания как функцию направления п и спиральности К фотона (^=±1) для случая, когда начальное и конечное ядра обладают определенными значениями: JiMt и JfMf.
Матричный элемент испускания фотона с определенными jm пропорционален матричному элементу 2/-польного (электрического или магнитного) момента ядра:
(JfMf, jm\V \JiMi)°°(—l)m(JfMf\QJt -m\JiMi). (48,1)
Волновая функция испущенного фотона (в импульсном представлении) пропорциональна Y^(n) или Y/m(n). Волновая же функция фотона с импульсом в направлении п и спиральностью X пропорциональна вектору поляризации е(Я). Матричный элемент испускания фотона пД, получится перемножением (48,1) с проекцией волновой функции состояния |jm) на волновую функцию состояния jn^>:
пЛ| V | JtMt) оо (-1)»(JfMf IQ/t _ J JtMt)(e0->'Y/ra).
Согласно (16,23) для фотонов обоих типов
ew*Y/m(n)~Z)[,,> (п). (48,2)
Матричный же элемент мультипольного момента выражаем обычным образом через приведенный элемент. В результате получаем амплйтуду вероятности перехода в виде
(JfMf, ПЛ|К|/<Л«1)оо'(-1/ГА,Г+“(Д 2т Mi ) QD^m (n)>
(48,3)
где Q обозначает (/fHQII/Д
Теперь мы можем перейти к общему случаю смешанных поляризационных состояний. Согласно общим правилам квантовой механики вероятность перехода будет пропорциональна
s 48] УГЛОВОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ 205
выражению ')
I (JfMf, пХ | К | JtMt) {.JjM'f, пХ' I V I JiM't)’ X
(m)
X <Л1,1 р(01 Л1') (Л1' I p(f) I Mf) (VI pfv) I Л), (48,4)
где p(l), p(f>, p<v) — матрицы плотности начального ядра, конечного ядра и испущенного фотона; символ (т) под знаком суммы означает, что суммирование производится по всем дважды повторяющимся m-индексам (М^М^ХХ). В (48,4) надо подставить (48,3).
Обозначим вероятность испускания фотона в телесный угол do через w(n)do. Полная вероятность испускания по всем направлениям и со всеми поляризациями фотона и вторичного ядра не зависит, очевидно, от начального поляризационного состояния ядра. Она дается уже известными нам формулами и нас здесь не интересует. Поэтому условимся нормировать вероятность ш(п) на 1. Для нее получается2)
Z (-1 c&rt&X
<m)
Х(Д ?,)(-*; h ?)<*.1ри1*»х
х(л1;|р(П|^)(я'1рм1я)
!) Если начальное и конечное состояния системы описываются суперпо*’ эициями
п т
то матричный элемент
<f\V\i) = Zb^nVmn,
тп
а его квадрат
i<fmoi2= Z
пп'тт*
Переход к случаю смешанных состояний осуществляется заменой
-* РпЬ Ьт,ь'т р^,т,
так что
|<f|K|0P-> Z VmnV'm'n' рМ«-пп'тт’
2) При преобразованиях знакового множителя можно пользоваться тем, что числа 2/г, 2/^, 2М., 2одинаковой четности. Напомним также, что числа j, т целые, а Я, = ±1.
208
ИЗЛУЧЕНИЕ
[ГЛ. V
Дальнейшее суммирование по mm'fylf во внутренней сумме в ш(п) производится с помощью формулы III (108,4). В результате получим для углового распределения фотонов следующую окончательную формулу:
Внутренняя сумма в (48,9) берется по всем а внеш-
няя— по всем четным значениям L, удовлетворяющим условиям
(эти условия — следствие правила треугольника, которому должны удовлетворять /-индексы в 3/-символах, фигурирующих в (48,9—10)). В силу этих условий число членов в сумме обычно невелико. Так, при /,• = 0 или */2 остается лишь член с L — 0, т. е. излучение изотропно (легко убедиться в том, что член с L — 0 равен 'Д, как и должно было быть по условию нормировки). При Ji = 1, 3/2 или при / = 1 в сумме по L остается два члена: L = 0, 2. Отметим также, что если матрица плотности р(0 диагональна (Mi —Mi), то ц = 0, и функция распределения
