Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
Ряд примеров применения полученных уравнений рассмотрен в задачах к этому параграфу. Здесь же отметим лишь, что при движении в чисто магнитном поле поляризация частицы без
’) Если ввести, как это часто делается, для заряженных частиц гиромагнитный коэффициент (множитель Ланде) g согласно е h \
2тс ~2 )’ Т0 это УРавнение запишется в виде т - (.* -2+2-г)'«"1+- 2> №«1+
+TiH*-Tn5-)'tiEvii- <41*>
*) Несколько короче это уравнение можно получить, раскрывая временную компоненту уравнения (41,7).
184
ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
[ГЛ. IV
аномального магнитного момента сохраняет постоянный угол со скоростью (^ц= const). Таким образом, этот результат, указанный- уже выше для нерелятивистского случая, действительно, имеет общий характер.
Уточним условия применимости полученных уравнений. Упомянутое вначале требование достаточно медленного изменения импульса частицы сводится к определенному условию малости полей Е и Н; в частности, ларморов радиус в магнитном поле (~р/е//) должен быть велик по сравнению с длиной волны частицы. Помимо этого, однако, должно выполняться, строго говоря, еще и условие не слишком быстрого изменения полей в пространстве: поле должно мало меняться на размерах квази-классического волнового пакета. Тем самым, поле должно мало меняться на расстояниях порядка длины волны частицы (1/р), а также на комптоновской длине волны, 1/т ').
Впрочем, в практических задачах о движении в макроскопических полях условие медленности их изменения заведомо выполняется, так что фактически требуется лишь достаточная их малость.
В § 33 были найдены первые релятивистские поправки для гамильтониана электрона, движущегося во внешнем поле. Для электрона в электрическом поле приближенный гамильтониан имеет вид (см. (33,12))
где в Я' включены члены, не содержащие спина. В нашем случае в силу медленного изменения поля в Й' следует пренебречь членом с производными от Е (т. е. с div Е); можно опустить также малый член с р4, не имеющий отношения к интересующим нас здесь эффектам поля, так что Й' (в отсутствие магнитного поля) сводится к нерелятивистскому гамильтониану Н' = = р2/2т + еФ.
Формулу (41,12) можно получить также исходя из уравнения '(41,9), не прибегая непосредственно к уравнению Дирака. Тем самым будет достигнуто ее обобщение (в квазиклассическом случае) для частиц с аномальным магнитным моментом.
С точностью до членов первого порядка по скорости v уравнение движения спина в электрическом поле получается из
’) Последнее требование возникает из условия, чтобы разброс скоростей в волновом пакете в его системе покоя был мал по сравнению с с; в противном случае в этой системе нельзя было бы пользоваться нерелятивистскими формулами.
Если поле меняется слишком быстро, в уравнениях могут оказаться существенными дополнительные члены, содержащие производные поля по координатам.
(41,12)
ДВИЖЕНИЕ СПИНА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
135
(41,9) в виде
“ 0* + fO I? [Ev]] = ( 2й- + 2ц') [6 [Ev] ].
Если потребовать, чтобы это уравнение получалось квантовоме-ханически путем коммутирования оператора спина с гамильтонианом (согласно (41,3)), то, как легко проверить, надо положить
й-й'-0*'+чгГ)(<'[|4])- <41-13>
Это и есть искомое выражение. При ц' = О мы возвращаемся к (41,12). Обратим внимание на то, что «нормальный» магнитный момент е/2т входит с лишним множителем ‘/2 по сравнению с аномальным моментом ц'').
Задачи
1. Определить изменение направления поляризации частицы при ее движении в плоскости, перпендикулярной однородному магнитному полю (Vl Н).
Решение. В правой стороне уравнения (41,9) остается лишь первый член, т. е. вектор ? прецессирует вокуг направления Н (ось г) с угловой скоростью
_ -51 Нд-(1 + 2ц') Н.
С этой же угловой скоростью вращается в плоскости ху проекция ? на эту плоскость (обозначим ее Ci). Вектор же v вращается в той же плоскости с угловой скоростью —еН/е (как это видно из уравнения движения р =а = ev = e[vHJ). Отсюда видно, что ?i поворачивается относительно направления v с угловой скоростью — 2ji'H.
2. То же при движении вдоль направления магнитного поля. Решелие. При совпадающих направлениях v и Н уравнение (41,9)
приводится к виду
d% _ 2цт [5.и,
Ж-------Г"16Н1'
т. е. ? прецессирует вокруг общего направления v и Н с угловой скоростью —2цтН/е.
3. То же при движении в однородном электрическом поле.
Решение. Пусть поле Е направлено вдоль оси *, а движение происходит в плоскости ху (при этом ру — const). Из (41,9) видно, что вектор % прецессирует вокруг оси г с мгновенной угловой скоростью
‘) Это и есть та «томасовская половинка», которая упоминалась в примечании на с. 152. Изложенный здесь вывод ясно демонстрирует ее происхождение.
186
ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
[ГЛ. IV
Снова разложим ? на составляющие и fci (в плоскости ху). Тогда
vu
Е, = Sj cos ф, ЕХЕ =¦ —^ sin ф • —.
Из (41,11) находим, что вращается относительно направления v с мгновенной угловой скоростью
§ 42. Рассеяние нейтронов в электрическом поле
При столкновениях нейтронов с ядрами рассеяние на большие углы определяется основным взаимодействием — ядерными силами. При рассеянии же на малые углы становится существенным, как мы увидим, взаимодействие магнитного момента нейтрона с электрическим полем ядра (/. Schwinger, 1948).
