Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
Проделав в (36,11) указанную замену, представим функции f и g в виде
М = Ve -Ип1 . A,eiPr {2рг)У-1 х g ) i л/г —т)
Х[е^(у —/v, 2у+ 1. —2<рг)=Ре~,5^(у+ l—/v, 2y + 1, — 2ipr)\,
где A' — новая нормировочная постоянная и введены обозначения
v = —, e~2ii = ¦ -Y-T-iv ¦ (36,13)
р х — ivm/& 4 * '
(величина g вещественна, поскольку y2 + (Zae/p)2 =. = х2 + (Zam/p)2).
Согласно известной формуле
F(а, р, z) = ezF (Р — а, р, — г)
(см. Ill (d, 10)) имеем
F (y + 1 — iv, 2у + 1, —2ipr) = e~2lprF{у + iv, 2y + 1, 2ipr) =
= e~2iprF* (y — iv, 2y + 1, — 2ipr),
поэтому
fg } = 2iA' У e ± m (2pr)y~1 ^ \el ^r+^F (y — < v, 2y + 1, —2<»}.
(36,14)
Нормировочный коэффициент А' определяется сравнением асимптотического выражения для этой функции с общей формулой (35,7) для нормированной сферической волны. Выпишем сразу получающееся таким образом выражение для волновых функций непрерывного спектра (и затем проверим его) ’):
^ \ _ оу, ^ / т±г Jy | Г (у + 1 + /у) | (2pr)v
g J Z Д/ в Г(2у+1) г Х
X ? {^(pr+l)^(Y - /V, 2Y + 1, -2ipr)}. (36,15)
Асимптотическое выражение для этой функции находится с помощью формулы III (d, 14), в которой в данном случае существен только первый член (второй убывает с более высокой степенью 1/г):
' }=#^;г!^г!(рг+б«+*1"2р'-тг)’ «ад
!) Волновые функции в поле отталкивания получаются отсюда изменением знака перед Za, т. е. изменением знака v.
166
ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
[ГЛ. IV
где
= I — arg Г (y + 1 + iv) — -у- + -у-, (36,17)
или
*-jvm/в ГСу + 1 -Jy) in(l_y) (36 ,8)
е V — tv Г (v + 1 + iv) * v ’
Отметим для будущих ссылок выражение фаз в ультрареляти-вистском случае (е > ш, v ~ Za)
______я Г (у + 1 fZa) tn(i-y) /ор ,q\
е ~ y-iZa Г(v + 1 + iZa) ' (зО,1У)
Выражение (36,16) отличается от (35,8) лишь логарифмическим членом в аргументе тригонометрической функции. Как и в случае уравнения Шредингера, медленность убывания куло-нова потенциала приводит к искажению фазы волны, которая становится медленно меняющейся функцией г.,
При аналитическом продолжении в область е <С т выражение (36,18) принимает вид
211,,. к - Zam/X Г(\+ 1 — Zaz/X) Jn(l-y) /оа пп\
е ~ у-Zae/X Г (у + 1 + Zaz/X) е ' \рЪ,г\3)
Оно имеет полюсы в точках, где у + 1 — Zae/X =1 — пг, пг = = 1, 2, ... (полюсы Г-функции в числителе), а также в точке у — Zae/X = —п, = 0 (если при этом и<0); как и следовало ожидать, эти точки совпадают с дискретными уровнями знергии. Вблизи какого-либо из полюсов с пг Ф 0 имеем
( ?мт _ -Л JnU-y)
е216* h________I--------:---г (у + 1 — —ae-) .
e nrT (2y + 1 + nr) V + X )
Вид Г-функции вблизи ее полюса находится с помощью известной формулы Г(г)Г(1 — z) = n/sin nz:
г / . , Zae \ ____________я____________
V ‘ X J™ Г (nr) sin я (v + 1 — 2аеД) ’
sin п (y + 1 — ** я cos nnr • (-х1) • (е — во) =
— (—!)Пг (8 ~ ей)
'(е0 — уровень энергии). Таким образом '),
e_inv/ Zam _ \
г** ~ (ЗМ1)
!) Легко убедиться в том, что эта формула остается справедливой и при пг = О,
РАССЕЯНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ
167
В конце предыдущего параграфа была получена формула
(35,11), связывающая вычет функции е2‘б* в ее полюсе с коэффициентом в асимптотическом выражении волновой функции соответствующего связанного состояния. В случае кулонова поля, однако, эта формула должна быть несколько видоизменена в связи с тем, что вместо постоянного фазового сдвига 6ц (как это было в (35,7)) в (36,16) стоит сумма 6* + v 1п(2рг). В левой стороне (35,11) надо поэтому писать не e2‘fljt, а
ехр [2/6* + 2tv In (2рг)\ -> еш* (2г'Яг)2 (n'+v).
Используя (36,21) и определяя из (35,11) коэффициент А0 (который будет теперь степенной функцией г), находим асимптотический вид нормированной волновой функции дискретного спектра:
f ~ [ ?&]'"¦gW*- (36,22)
Эта формула была уже использована для определения коэффициента в (36,11).
§ 37. Рассеяние в центрально-симметричном поле
Напишем асимптотическое выражение для волновой функции частицы, рассеивающейся в поле неподвижного силового центра, в виде ‘)
^ = и,/рг + <Р^рг1Г- (37,1)
Здесь Uep — биспинорная амплитуда падающей плоской волны. Биспииор же u'tp, является функцией направления рассеяния п', а при каждом заданном значении п' совпадает по форме (но, конечно, не по нормировке!) с биспинорной амплитудой плоской волны, распространяющейся в направлении п\
Мы видели в § 24, что биспинорная амплитуда плоской волны полностью определяется заданием двухк&мпонентной величины — 3-спинора до, представляющего собой нерелятивистскую волновую функцию в системе покоя частицы. Через этот спинор выражается и плотность потока: она пропорциональна w*w (с коэффициентом пропорциональности, зависящим только от энергии е и, следовательно, одинаковым для падающих и рассеянных частиц). Поэтому сечение рассеяния do = (до'*до /w*w)do
*) В § 37, 38 р обозначает |р|, а в качестве индексов у амплитуды па-, шем отдельно е и р.
168
ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
[ГЛ. IV
или, если (как и в § 24) нормировать падающую волну условием w*w = 1,
da = w'mw' do.
Введем оператор рассеяния f согласно определению
w' — fw. (37,2)
