Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
Ввиду двухкомпонентности величин w, w' определенный таким образом оператор аналогичен операторной амплитуде рассеяния, фигурирующей в нерелятивистской теории рассеяния с учетом спина (111, § 140). Поэтому непосредственно переносятся сюда полученные там формулы, выражающие оператор через фазовые сдвиги волновых функций в рассеивающем поле. Надо лишь произвести переобозначение этих фаз, выразив введенные в III, § 140 сдвиги б* и б Г через фазовый сдвиг фигурирующий в релятивистской формуле (35,7). Напомним, что фазы бf и 6Г относились к состояниям с орбптальиым моментом I и полным моментом j = I + 1/ч и j — I — ’/2- Согласно определению (35,3) х = —I — 1 при j = I + V2 и х = I при } = I — ’Д. Поэтому мы должны переобсзначить
bt —*¦ 6-(/+i), б/ —>б/
(и помнить, что индекс у б задает теперь значение числа х!). Таким образом, получим следующие формулы:
f = A + Bxo, (37,3)
ОО
А = w ? [(/ + 1} + 1 ~ ^Pl (cos 0)’ (37,4)
/= о
в=w Ё -e2i&^ р1‘ (cos <37-5>
/=1
где v — единичный вектор в направлении [пп'].
Поскольку w — спинорная волновая функция в системе покоя, то и поляризационные свойства рассеяния описываются с помощью f теми же формулами, что и в III, § 140.
В случае кулонова поля оказывается возможным выразить обе функции Л(0) и В (в) через одну. Укажем вкратце ход соответствующих вычислений !).
’) Gluckstern R. L., Lin S. R./lJ. Math. Phys. — 1964.—Vol. 5. — P. 1594.
РАССЕЯНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ
169
Для кулонова поля фазы би даются формулой (36,18), которую представим в виде
(замечаем, что еш = еЫк при х > 0 и еш = —еш при х < 0), С помощью введенных таким образом величин ряды (37,4—5) могут быть представлены в виде
При преобразовании ряда В (9) использованы следующие рекуррентные соотношения между полиномами Лежандра!
(1 + cos 9) [Pi (cos 9) — Рi_i (cos 6)] =
=-.l[Pi(cosQ)-}-Pi_i(cose)] (37,11)
функции ,F(9) и G(0) связаны друг с другом соотношением
Тем самым Л (9) и В (9) оказываются выраженными через одну функцию .F(9) ‘).
’) Функция F(0) не выражается в замкнутом виде через элементарные функции. Однако ее можно записать в виде определенного двойного интеграла — см. указанную выше статью.
(37,6)
A(®) = ~G(9) — * —^г~ F(9),
(37,7)
где
ОО
оо
pj+p{_,=-ctg4
pj-p{_1=tg4-/(p/+p/_1).
(37,10)
(37,9)
С другой стороны, в силу тождества
(37,12)
170
ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
[ГЛ. IV
§ 38. Рассеяние в ультрарелятивистском случае
Особо рассмотрим рассеяние в ультрарелятивистском случае '(е » т). В первом приближении полностью пренебрегаем в волновом уравнении массой т. При этом удобно пользоваться
для г|> спинорным представлением ^ = (^)’ так как уравнения для s и т) при т = 0 разделяются:
-/oVg = (e-?/)?, - шУт] = - (е - ?/) п (38,1)
((приобретая «нейтринный» вид, см. § 30).
Спиральному состоянию электрона, поляризованного в направлении р, отвечает волновая функция ^ ( о ) . а поляризо-
ванному против р: ^= (^ ) • В силу независимости уравнений
для | и т) ясно, что это свойство при рассеянии не меняется. Другими словами, при рассеянии ультрарелятивистских электронов сохраняется спиральность. Из соображений симметрии (продольная поляризация) очевидно, что при рассеянии спиральных частиц отсутствует азимутальная асимметрия. Можно также утверждать, что сечение рассеяния спиральных электронов не зависит от знака спиральности; это следует из того, что центральное поле инвариантно по отношению к инверсии, а знак спиральности при инверсии меняется на обратный.
В ультрарелятивистском случае формулы (37,3—5) могут быть существенно упрощены (D. R. Yennie, D. G. Ravenhalt, R. N. Wilson, 1954).
Пусть падающий электрон поляризован, скажем, вдоль направления движения п. Для плоской волны с определенным значением по спинор ?(=(<р + х)/У2) пропорционален тому же
3-спинору w, который фигурировал в стандартном представлении волны. Поэтому связь между спинорными амплитудами падающей и рассеянной волн в новом представлении по-прежнему осуществляется тем же оператором f.
В результате рассеяния вектор поляризации поворачивается вместе с импульсом, приобретая направление п'. Воздействие оператора f на спиновую волновую функцию электрона сводится поэтому к повороту спина на угол 0 (угол между п и п') вокруг осн V. В свою очередь такой поворот эквивалентен повороту системы координат вокруг той же оси в обратном направлении, т. е. на угол —0. Отсюда следует, что оператор f должен совпадать (с точностью до коэффициента) с оператором, осуществляющим преобразование волновой функции при указанном изменении системы координат, т. е. с оператором (18,17) с заменой
§ 38) РАССЕЯНИЕ В УЛЬТРА РЕЛЯТИВИСТСКОМ СЛУЧАЕ 171
0->-—0. Сравнив (37,3) с (18,17), найдем, что должно быть
4 = (38,2)
Таким образом, в ультрарелятивистском пределе
f = Л (0) [l — / tg 4 ' vo]. (38,3)
Выражение для А (0) (37,4) тоже можно упростить, если воспользоваться возникающим в том же пределе соотношением между фазами бя и б_я. Для его вывода замечаем, что уравнения (35,4) для функций fag после вычеркивания членов с т становятся инвариантными относительно замены
