Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
И-> — X, f->g, g-> — f,
не затрагивающей параметров самой частицы или поля. Поэтому должно быть fn/gn = —g-^/f-n, и после подстановки асимптотических выражений находим
tg (/«¦ — -? + б*) = ~ {рг — + 6~*~) •
б* = б-я-(/'-0т+(п+т)
откуда
32<вк = е2<в-я. (38,4)
Используя это соотношение (и заменяя в первом члене суммы в (37,4) индекс суммирования / на /— 1), получаем 00
= - 1)[P,(COS0) + P,_,(COS0)].. (38,5)
Z=1
Из (38,2) следует, что Не(ЛВ*) =0. Это значит, что в рассматриваемом приближении сечение не зависит от начальной поляризации частиц, а неполяризованный пучок остается непо-ляризованным и после рассеяния (см. формулы III (140,8—10)). Отметим также, что при 0->-ji выражение Л(0) (38,5) стремится к нулю как (я— 0)2 (напомним, что Р/(—1) = (—1)'). Вместе с ним стремится к нулю также и сечение
? = МР + |ВР-^Ш|!-. <38,6)
Перечисленные свойства исчезают, разумеется, в следующих приближениях по малой величине т/е.\ В частности, анализ показывает, что при 0 -»- л сечение стремится к пределу, пропор* циональному (т/е)2.
172
ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
[ГЛ. IV
Для кулонова поля в ультрарелятивистском случае фазы 6* не зависят от энергии, как это видно из (36,19) *). Поэтому в чисто кулоновом поле сечение рассеяния при е>т имеет вид
йо = 1^йо, (38,7)
где т — функция только от угла.
§ 39. Система волновых функций непрерывного спектра для рассеяния в кулоновом поле
В дальнейшем (см. § 95, 96) будут рассмотрены различные неупругие процессы, происходящие при рассеянии ультрареля-тивистских электронов в поле тяжелого {Za ~ 1) ядра. Для вычисления соответствующих матричных элементов нам понадобятся волновые функции, асимптотическая (при r-voo) форма которых складывается из плоской и сферической волн.
Мы увидим, что в ультрарелятивистском случае (энергия электрона е>ш) основную роль в рассеянии играют передачи импульса (от электрона ядру) q = jp' — р| ~ т. Этим значениям q отвечают «прицельные расстояния» р — 1/^ — l/т, причем электрон отклоняется на углы2)
e~f~T- (39>1)
В терминах координат г (расстояние от центра) и 2 = rcos0 это означает область
р = г sin 0 ~ l/m, p(r — z) = pr( 1 — cos 0) ~ 1. (39,2)
При этом г ~ е/т2, т. е. мы имеем дело с областью больших
расстояний.
Напишем уравнение Дирака в виде
(е — U — mp + «*V) 'Ф = О» U= — Za/r. (39,3)
Преобразуем его в уравнение второго порядка, для чего применим к (39,3) оператор (е—Uт$ — iaV):
(Д + Р2 — 2е?/) i|) = (— iaVU — U2) i|\ (39,4)
Поскольку в рассматриваемой области г Za/e, то U <С е. В первом приближении можно пренебречь в .(39,4) правой
‘) Это видно и непосредственно из уравнений (38,1), поскольку для кулонова поля заменой г->-г'/е энергию в можно вообще устранить из уравнений.
2) В этом параграфе р обозначает |р|.
§39] ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ ДЛЯ РАССЕЯНИЯ В КУЛОНОВОМ ПОЛЕ 173
стороной. Остающееся уравнение
(л + Р2 + -^-)ф = 0 (39,5)
по форме совпадает с нерелятивистским уравнением Шредингера в кулоновом поле
{тЬ& + ? + ^)* = а- №5а>
отличаясь от него лишь очевидным изменением обозначения параметров (в «потенциальной энергии» — лищний множитель г/m). Поэтому мы можем сразу написать его решение, имеющее требуемый асимптотический вид (см. III, § 136).
Так, волновая функция, содержащая асимптотически плоскую (оо е1рг) и расходящуюся сферическую волны, имеет вид
и„„ , / iZae \
^,=С7^Г (“7"’ 1’г>г“Рг0’
С = ея2ае/2рГ (1 — / ~ ) ,
(39,6)
где F— вырожденная гипергеометрическая функция, а иер — постоянная биспинорная амплитуда плоской волны, нормированная принятым нами условием (23,4)
МерИер = 2т. (39,7)
Волновая функция (39,6) нормирована таким образом, что плоская волна в ее асимптотическом выражении имеет обычный вид
е«'рг
’
отвечающий одной частице в единичном объеме. Поскольку в ультрарелятивистском случае р « е, в (39,6) можно положить Zae/p « Za:
^V=c~^eivvF(-iZa' ^ 1(рг~ pf))> (39>8)
C = ezan/2 V(l-iZa).
Обратим внимание на то, что хотя мы рассматриваем расстояния настолько большие, что pr 1, заменить в (39,8) ги-пергеометрическую функцию ее асимптотическим выражением нельзя: аргументом функции F является не рг, а величина pr(\ — cos0), не предполагающаяся нами большой1).
>) В III, § 135 мы интересовались сколь угодно большими г, и поэтому такая замена была возможна для любых углов 0.
174 ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ [ГЛ. IV
В применениях оказывается необходимым также следующее приближение в \ji, которое имеет спинорную структуру, отличную от структуры (39,8) (сводящейся к множителю «ер). Для его вычисления пишем ty в виде
•Ф = elpT (u<vF + ф).
В правой стороне уравнения (39,4) сохраняем теперь член с первой степенью U и для функции ф получаем уравнение
(Л + 22'pV — 2eU) ф = — iuep(aVU) F. (39,9)
Его решение можно найти, заметив, что функция F удовлетворяет уравнению
(А + 2tpV - 2eU) F = О
г(в чем можно убедиться, подставив (39,6) в (39,5)). Применив к этому уравнению операцию V, получим
(Л + 2/pV — 2eU) VF =?= 2bFVU.
Сравнив с уравнением (39,9), найдем
Ф = — -^-(aV)Mep/7.
Выпишем окончательное выражение для и для такой же функции содержащей в своем асимптотическом выражении сходящуюся сферическую волну:
