Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ландау Л.Д. -> "Теоретическая физика" -> 62

Теоретическая физика - Ландау Л.Д.

Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учебное пособие — М.: Наука, 1989. — 728 c.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка): teoreticheskayafizika1989.pdf
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 66 67 68 .. 244 >> Следующая

=е‘РТ (1 “ 27v)F (iZa’ 1 ’ 1 (pr “ рг»Uep'
-J!Lvy(-iza, 1, i(pr -j- pr))uep, (39,10)
C = enZal2T (1 _ /Za)
\W. H. Furry, 1934). Выпишем также аналогичные функции (\|э_е_р) с «отрицательной частотой», которые пон^адобятся при рассмотрении процессов с участием позитронов. Их можно получить из функций i]>ep заменой р -»—р, е->—е, причем р = |р| не меняется (в силу последнего обстоятельства параметр iZa г ипер геометр и чес кой функции меняет знак, как это видно из первоначального выражения (39,6), в котором этот параметр фигурирует в виде iZae/p). Таким образом, получим
Ф'Л-р = Zjkr e~lt" (! + ^ V) F iZa’ lj 1 ^pr + pr^
V~LP = -^e~lpr(^ + ^y^F(iZa, 1, — i(pr — pr))«_e_p,
(39,11)
С = е-я2а/2Г(1 +/Za).
§391 ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ ДЛЯ РАССЕЯНИЯ В КУЛОНОВОМ ПОЛЕ 175
По поводу произведенных вычислений надо еще сделать следующее замечание. Поставленное нами асимптотическое условие само по себе отнюдь не достаточно для однозначного выбора решения волнового уравнения (это ясно хотя бы из того, что всегда можно добавить к не нарушая этого условия, любую кулонову расходящуюся сферическую волну). Написав решение уравнения (39,5) в виде (39,6), мы тем самым молчаливо подразумевали выбор решения, конечного при г = 0. Такое требование было необходимым в III, § 135, 136, где рассматривались решения точного уравнения Шредингера, справедливые во всем пространстве '). В данном же случае уравнение (39,5) относится лишь к большим расстояниям, и потому произведенный отбор решения нуждается в дополнительном обосновании.
Оно дается тем фактом, что большим «прицельным расстояниям» p=rsin0 соответствуют большие орбитальные моменты/ и малые углы рассеяния 0: при р ~ l/т имеем
/ ~ рр ~ ре ~ г/т 1, а угол 0 можно оценить квазиклассическим способом:
р J dr р е
Это значит, что в разложении t|> по сферическим волнам будут фигурировать (в рассматриваемой области г и 0) в основном волны с указанными большими значениями I. Но сферическая волна с большим / заведомо убывает до малых значений при приближении к началу координат на «классически недостижимые» (благодаря центробежному барьеру) расстояния г <С 1/е. Поэтому, если производить «сшивание» решения уравнения
(39,5) с решением точного уравнения (39,4) на малых расстояниях при г ~ ги где l/e > Za/e, то граничное условие для решения уравнения (39,5) будет заключаться в требовании его малости, чем и оправдывается сделанный нами выбор.
Задача
Для кулоиова поля притяжения с Za -С 1 найти поправку (относительного порядка Za) к нерелятивистской волновой функции дискретного спектра.
Решение. Скорость электрона в связанном состоянии v ~ Za, так что при Za < 1 в нулевом приближении волновая функция — иерелятивист-ская, т. е.
Ф — «Фнр.
') В изложенном в III, § 135 ходе решения это условие было обеспечено выбором частного интеграла вида (135,1) вместо общей суммы инте-* тралов с различными значениями Pi, р2.
176 ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ [ГЛ. IV
где \|)кр — удовлетворяющая нерелятивистскому уравнению Шредингера функция, и — биспинор вида и = (о) , где w — спинор, описывающий поляризационное состояние электрона. В следующем приближении пишем: =
= ифкр + ф(1) и, подставляя в (39,4), находим для if*11 уравнение
( 2^ д - 1 1 + ~) Ф(1) = I ^ ( V-J-) (аи) Ф„р,
где ъп — нерелятивистский дискретный уровень энергии. Здесь опущены члены относительного порядка (Za)2 (следует учитывать, что в нерелятивистском случае основные расстояния — порядка воровского радиуса: r~llmZa),
Решение этого уравнения: =—2m” аы^7,1,нР> так Чт0
¦“О" 2^ aV)
§ 40. Электрон в поле плоской электромагнитной волны
Уравнение Дирака может быть решено точно для электрона, движущегося в поле плоской электромагнитной волны (Д. М. Волков, 1937).
Поле плоской волны с волновым 4-вектором k (k2 = 0) зависит от. 4-координат лишь в комбинации ф = kx, так что 4-потенциал
Л^Л^ф), (40,1)
причем он удовлетворяет условию калибровки Лоренца
dlX = k»A'l' = 0
)(штрих означает дифференцирование по ф). Поскольку постоянный член в А несуществен, в этом условии можно опустить штрих и записать его в виде
М = 0. (40,2)
Исходим из уравнения второго порядка (32,6), в котором тензор поля
<4°.3)
При раскрытии же квадрата (id — еА)2 надо учесть, что в силу /40,2) дц^Л^) = В результате получим уравнение
[—¦ д2 — 21е (Ад) -f- А42 — т2 — ie (yk) (уЛ')1 г|з = 0 (40,4)
¦(<Э2 = д^).
Ищем решение этого уравнения в виде
•ф =¦¦ e~lPxF (ф), (40,5)
| 40] ЭЛЕКТРОН В ПОЛЕ ПЛОСКОЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ 177
где р — постоянный 4-вектор. Прибавление к р любого вектора вида const -k не меняет такого вида функции г|з (требуется лишь соответствующее переобозначение функции F(<p)). Поэтому можно без ограничения общности наложить на р одно дополнительное условие. Пусть
р2 = т2. (40,6)
Тогда при выключении поля квантовые числа pv- переходят в компоненты 4-импульса свободной частицы. Смысл компонент
4-вектора р при наличии поля более нагляден в специальной системе отсчета, выбранной так, чтобы было Л0 = 0. Пусть в этой системе вектор А направлен по оси х\ а к — по оси х3 (т. е. электрическое поле волны направлено по х\ магнитное — по х2, а сама волна распространяется вдоль оси я3). Тогда (40,5) будет собственной функцией операторов
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 66 67 68 .. 244 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed