Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
') Так, если заряд ядра равномерно распределен в сфере радиуса г0 = = 1,2-10-,г см, критическое значение Zc = 170, а следующий уровень достигает границы —т при Z = 185 (В. С. Попов, 1970). Подробное изложение количественной теории — см. обзорную статью Я. Б. Зельдовича и В. С. Попова (УФН,—1971, —Т. 105. —С. 403).
162 ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ [ГЛ. IV
Наконец отметим, что даже в случае точечного заряда ход потенциала на малых расстояниях искажается за счет радиационных поправок. Их учет приводит, однако, лишь к поправкам ;~ак значению Zca.
Обратимся теперь к точному решению волнового уравнения (G. Darwin, 1928; W. Gordon, 1928).
Дискретный спектр (е < т). Будем искать функции f и g
в виде ______
f = л/т + ее-е/у-1 (Qi + Qa), „
» ... . -- (oD,o)
g = — Vtn — ee-P V1 (Qi — Q2),
где введены обозначения
p = 2A г, Л = Vт2 — е2, у = -д/и2 — Z2a2. (36,4)
Такая форма представляется естественной ввиду известного уже нам поведения функций при р-н>-0 (36,2) и их экспоненциального затухания (~е~Р12) при р-»-оо. Поскольку при р->-оо первое равенство (35,9) должно выполняться и в случае кулоно-ва поля, следует ожидать, что при р->-оо будет Qi Q2. Подставив (36,3) в (35,4), получим уравнения
Р (Qi + Q2Y + (V + X) (Qi + Q2) - pQ2 + .Za J~~ (Q, - Q2) = 0,
P (Qi - Q2Y + (У ~ x) (Qi - Q2) + pQ2 -Za^j(Ql + Q2) = 0
(штрих означает дифференцирование по р). Их сумма и раз-ность дают
pq;+(y —17=f)Q, + (*
P<?2 + (v + Jxi-p)c2 + (« + ir1)0, = 0. <3б,5>
или, после исключения Qi или Q2,
рот + (2v + 1 - Р) Q[ - (v —пг ) Qi = 0.
pQa + (2V + 1 — Р)<й — (Y + 1-
'(надо учесть,, что у2—(Zae/K)2 = v?—(Zam/K)2). Решение этих уравнений, конечное при р = 0:
Qi^AF(y-^~, 2у+1,р),
/ Zae Ч W)
Q2 = 5f(y+1 — —2у+1, р),
ДВИЖЕНИЕ В КУЛОНОВОМ ПОЛЕ
163
где F(а, р, г)—вырожденная гипергеометрическая функция. Положив в каком-либо из уравнений (36,5) р = 0, найдем связь между постоянными А и В\
в=-1-171,1А¦ <36'7>
Обе гипергеометрические функции в (36,6) должны сводиться к полиномам (в противном случае они будут возрастать при р->оо как еР, а с ними будет возрастать — как ер/2 — и вся
волновая функция). Функция F( а, (5, г) сводится к полиному,
если параметр а равен целому отрицательному числу или нулю. Обозначим
у — Zae/X = — пг. (36,8)
Если п, = 1, 2, ..., то обе гипергеометрические функции сводятся к полиномам. Если же пг = 0, то сводится к полиному лишь одна из них. Но равенство пг=0 означает, что у = Zaz/X, и тогда, как легко проверить, Zam/X = |х|. Если х <С О, то коэффициент В (36,7) обращается в нуль, так что Q2 = 0, и требуемое условие не нарушается. Если же х >¦ 0, то S = —А, и Q2 остается при п, = 0 расходящейся функцией. Таким образом, допустимы следующие значения квантового числа пг:
f 0, 1, 2, ... при х < 0;
”г { 1, 2, 3, ... при х > 0. ( > )
Из определения (36,8) находим теперь следующее выражение для дискретных уровней энергии:
JL = U+ (g)» ¦ Г'\ (36,10)
т L (ух — (Zd)s-Me) J В частности, энергия основного уровня lst/2(|x| = 1, пг = 0):
в! = m V1 — (Za)2.
При Za <? 1 первые члены разложения формулы (36,10) дают
8 I _ f. . W Г 1 3
+ <^а>г Г_!________________з -п
)2 I |x| + nrL|x| 4( |х| + nr) J }'
т 2 (| х | + пг)2
Обозначив Пг + |х| =п (= 1, 2, ...) и заметив, что |х| =/ + ‘/г, мы вернемся к формуле (34,4), полученной нами ранее с помощью теории возмущений. Как уже было указано в конце §34, дальнейшие члены этого разложения не имеют смысла, поскольку они заведомо перекрываются радиационными поправками. Формула (36,10), однако, имеет смысл в своем точном виде при Za ~ 1. Отметим, что обнаруживаемое приближенной формулой L(34,4) двукратное вырождение уровней сохраняется и в точной
164
ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
[ГЛ. IV
формуле: поскольку в нее входит лишь |и|, уровни с разными / при одном и том же / по-прежнему совпадают.
В волновой функции нам осталось еще определить общий нормировочный коэффициент А. Как всегда, волновая функция дискретного спектра должна быть нормирована условием
\ 11]з \2d3x = 1; для функций fag это означает условие
Коэффициент А проще всего найти по асимптотическому виду функций при г->оо. С помощью асимптотической формулы
Сравнив эту формулу с выражением (36,22), которое будет найдено ниже, определим А. Собрав затем полученные формулы, выпишем окончательные выражения для нормированных волновых функций:
2y+1, 2kr)=fnrF(l-nr, 2y+1, 2Кг)}
(верхние знаки относятся к /, нижние— к g).
Непрерывный спектр (е > т). Нет необходимости заново решать волновое уравнение для состояний непрерывного спектра. Волновые функции этого случая получаются из функций дискретного спектра заменой *)
¦у/т — е-> —i-y/e — m, X-> — ip, — (36,12)
г(о выборе знака при аналитическом продолжении корня Ym — е см. III, § 128). Заново, однако, должна быть произведена нормировка функций.
*) Ниже в этом параграфе р обозначает | р | = Уе2 — от2.
ОО
\ (P + g2)r2dr= 1.
о
F(—nr, 2у + 1, р) «
Jcm. Ill (d, 14)) находим
Г (2у + 1)
e~Kr{2 Хг)у+пг-\
Г (nr + 2V + 1)
(36,11)
§ 36] ДВИЖЕНИЕ В КУЛОНОВОМ ПОЛЕ 165
