Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
•) Ср. III, §. 33. Как и в нерелятивистской теории, IЦг) должно убывать быстрее, чем 1/г. Случай U ~ 1/г будет рассмотрен особо в § 36.
5 35] ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ 159
Продифференцируем уравнения {35,5) по энергии:
(Я)'
№)'-7Т?+<*- —«¦&— *
Умножим эти два уравнения соответственно на rg и на —г/, а два уравнения (35,5)—соответственно на —rg и на rf, после чего все четыре уравнения сложим почленно. После всех сокращений получим
Интегрируем это равенство по г:
¦'*(*?-'#) 4<р+
о
после чего переходим к пределу г-> оо. В силу условия нормировки интеграл в правой стороне ” равенства обращается в единицу. В левой же стороне учтем, что в асимптотической области функции / и g связаны равенством
НУ
rg-
е + т’
получающимся из (35,5) при пренебрежении членами с U и с 1/г. В результате получим
1
е + т
И'-ЗГ-'?(Т5Г)'Н- <35Д0>
Эта формула лишь коэффициентом- (е + вместо 2т) отличается от аналогичной нерелятивистской формулы (для функции х)- Поэтому нет необходимости повторять все дальнейшие вычисления, и мы сразу приведем окончательную формулу, справедливую вблизи точки е = 8о (во — уровень энергии):
4 7 8 — ?n V j
(35,11)
¦ е0 V щ + ев *
где Ао—коэффициент в асимптотическом выражении (35,9). Задача
Найти предельный вид волновой функции при малых г в поле U ~ г~‘, s < 1.
Решение. Для свободной частицы имеем при малых г: f~rl, g~r1', так что при I <l': / g, а при I > У г f С g. Делаем предположение
160
ЧАСТИЦА. ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
[ГЛ. IV
(оправдывающееся результатом), что такое соотношение сохраняется и в рассматриваемом поле. При / </' (т. е. / = / — '/г, х = —I—1) в перво^ из уравнений (35,4) член с g можно опустить, так что по-прежнему f~r . Из второго же уравнения имеем тогда g ~ rfU, т. е. g~rt+l s==r ~s. Аналогичным образом рассматривается случай / > /'. В результате находим
при / </': f~r, g~rL'~s-,
при l> l'\ f~rl~s, g~r1'.
§ 36. Движение в кулоновом поле
Изучение свойств движения в наиболее важном случае куло-нова поля начнем с исследования поведения волновых функций на малых расстояниях. Будем говорить для определенности
о поле притяжения: U = —Za/r ').
При малых г в уравнениях (35,5) можйо опустить члены с е ± т; тогда
(fr)' + ^fr-^gr = 0,
Za
(ёгУ-7~&г + ~г-//" = 0.
Функции fr и gr входят в каждое из.этих уравнейий равноправным образом. Поэтому обе ищем в виде одинаковых степеней г: fr = arv, gr = bf*. Подстановка в уравнения дает
а (у + и) — bZa = 0, aZa + b (у — к) = 0,
откуда
Y 2 = x2-(Za)2. (36,1)
Пусть (Za)2 < х2. Тогда у вещественно, причем из двух значений должно быть выбрано положительное: соответствующее решение либо не расходится при г = 0, либо расходится менее
быстро, чем другое. Такой выбор можно обосновать путем рас-
смотрения потенциала, обрезанного (как было объяснено в предыдущем параграфе) на некотором малом г0, с дальнейшим переходом к пределу г0->0 (ср. аналогичные рассуждения в 111, § 35). Таким образом,
const•r~1+v
_____ (36,2)
= V(Z + V2)2 — Z2a2.
¦) В обычных единицах U = —Ze2/r. При переходе к релятивистским единицам ег заменяется безразмерным а.
ДВИЖЕНИЕ В КУЛОНОВОМ ПОЛЕ
161
Хотя волновая функция и может обратиться при г = 0 в бесконечность (если у < 1), интеграл от |г|з|2 остается, разумеется, сходящимся. Если (Za)2 > и2, то оба значения у из (36,2) — мнимые. Соответствующие решения при /•->¦0 осциллируют (как
1 cos( |у|In г), что снова отвечает, как уже было объяснено выше, недопустимой в релятивистской теории ситуации «падения» на центр. Так как и2 ^ 1, это значит, что чисто ку-лоново поле можно рассматривать в теории Дирака лишь при Za < 1, т. е. Z < 137.
Остановимся на качественном описании ситуации, возникающей при Z > 137. Снова, чтобы избежать неопределенности в граничном условии при г = 0, следует рассматривать потенциал, обрезанный на некотором расстоянии г0 (И. Я. Померанчук, Я. А. Смородинский, 1945). Это имеет не только формальный, но и прямой физический смысл. Заряд Z> 137 фактически может быть сосредоточен только в некотором «сверхтяжелом» ядре конечного радиуса. Рассмотрим поэтому, как меняется расположение уровней с увеличением Z при заданном г0.
В «необрезанном» кулоновом поле энергия ei нижнего уровня обращается при Za = 1 в нуль и кривая зависимости ei (Z) обрывается — при Zee > 1 уровень ei становится мнимым (см.
(36,10)). В «обрезанном» же поле, при заданном г0 ф 0, уровень ei проходит через нуль лишь при некотором Za > 1. Но значение ei = 0 никак не выделено физически, а при г0 ф 0 оно ничем не выделено и формально — кривая зависимости ei(Z) здесь не обрывается. При дальнейшем увеличении Z уровни продолжают понижаться, и при некотором «критическом» значении Z = Zc(ro) энергия ei достигает границы (—т) нижнего континуума уровней. Как было объяснено в предыдущем параграфе, это означает обращение в нуль энергии, требуемой для рождения свободного позитрона. Поэтому критическое значение Zc — это максимальный заряд, которым может обладать «голое» ядро при заданном г0.
При Z > Zc уровень ei < —т и становится энергетически выгодным рождение двух электрон-позитронных пар. Позитроны уходят на бесконечность, унося кинетическую энергию 2(|ei| —rri), а два электрона заполняют уровень еь В результате образуется «ион» с заполненной ^-оболочкой и зарядом Z9<t> = Z — 2 (С. С. Герштейн, Я. Б. Зельдович, 1969). Эта система устойчива при Z >• Zc, вплоть до значений Z, когда границы — ш достигнет следующий уровень ’).
