Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
Среди стационарных решений уравнения Дирака во внешнем -поле могут иметься состояния как непрерывного, так и дискретного спектра. Как и в нерелятивистской теории, состояния непрерывного спектра соответствуют инфинитному движению, при котором частица может находиться на бесконечности, где ее можно рассматривать как свободную. Поскольку собственные значения гамильтониана свободной частицы равны ± Vp2 + m?> ясно, что непрерывный спектр собственных значений энергии лежит при е ^ т и при е —т. Если же —т С е < т, то частица не может находиться на бесконечности, так что движение финитно и состояние принадлежит дискретному спектру.
Как и для свободных частиц, волновые функции с «положительной частотой» (е > 0) и с «отрицательной частотой» (е < 0) определенным образом входят в схему вторичного квантования. Для частиц во внешнем поле эта схема естественно обобщается путем замены плоских волн в формулах (25,1) соответственно нормированными собственными функциями уравнения Дирака ift+1 и относящимися к положительным (е(„+)) и отрица-
тельным (—е(п-)) частотам:
$ = Е {<*А+>ехР (“ ШпЧ) + ехР (f4_)0}.
(32,9)
$ = ? {й+^+'ёхр (/е<+>/) + бД->ехр (- /в*-*)}.-
. При этом надо иметь в виду, что по мере углубления потенциальной ямы уровни энергии могут перейти границу 8 = 0, т, е.
148
ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
[ГЛ. IV
из положительных сделаться отрицательными (или, для потенциала другого знака, из отрицательных — положительными). Тем не менее из соображений непрерывности надо продолжать считать эти уровни электронными (а не позитронными). Другими' словами, к электронным'следует относить все состояния, которые при бесконечно медленном выключении поля примыкают к поло-; жительной границе непрерывного спектра (е = т).
Хотя уравнение Дирака для электрона во внешнем поле и дает возможность, как уже было сказано, решать широкий круг задач квантовой электродинамики, необходимо в то же время подчеркнуть, что применимость понятия внешнего поля в рамках одночастичной задачи в релятивистской теории все же ограничена. Эта ограниченность связана с самопроизвольным рождением электрон-позитронных пар, возникающим в достаточно сильных полях (см. ниже, § 35, 36).
Мы не будем рассматривать в этой книге допрос о введении внешнего поля в волновые уравнения частиц с отличным от 1!% спином, поскольку он не имеет прямого физического смысла — реальные частицы с такими спинами являются адронами и их электромагнитные взаимодействия не могут быть описаны волновыми уравнениями. В этой связи следует отметить, что* эти уравнения могут приводить и к физически противоречивым результатам. Так, волновое уравнение для частиц со спином О имеет комплексные (с мнимыми частями обоих знаков) уровни энергии в поле достаточно глубокой потенциальной ямы. Волновое уравнение для частиц со спином 3/2 приводит к нарушению причинности, проявляющемуся в появлении решений, распространяющихся со сверхсветовой скоростью.
Задача
Определить уровни энергии электрона в постоянном магнитном поле.
Решение. Векторный потенциал: Ах = Аг — О, А„ = Нх (поле Н направлено по оси г). Сохраняются (наряду с энергией) компоненты р„, рх обобщенного импульса.
Воспользуемся уравнением второго порядка для вспомогательной функции ф (см. (32,8)) и примем, что ф есть собственная функция оператора 2л (с собственным значением а=±1), а также операторов ру, pz. Уравнение для ф/имеет вид
{ “¦?*¦ + (еЯ* “ ри? - еНа) Ф = (е2 - - Р|) Ф-
Это уравнение по форме совпадает с уравнением Шредингера для линейного осциллятора. Собственные значения е определяются формулой
е2 — т2 — р\ — | е | Н (2п + 1) — еНа, п = 0, 1, 2, ...
(ср. III, § 112). Отметим, что волновая функция if, которую следует определить из ф по формуле (32,6), не является •собственной функцией оператора 2* — в соответствии с тем, что для движущейся частицы спин не является сохраняющейся величиной.
§33] РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СТЕПЕНЯМ 1/с 149
§ 33. Разложение по степеням 1/с1)
Мы видели (см. § 21), что в нерелятивистском пределе -(v-*~
->-0) две компоненты (х) биспинора Ф —(^) обращаются в
нуль. Поэтому при малых скоростях электрона х ^ Ф- Это дает возможность получить приближенное уравнение, содержащее только двухкомпонентную величину ф, путем формального разложения волновой функции по степеням 1/с.
Исходим из уравнения Дирака для электрона во внешнем поле в виде
/Й-^ = {са(р-|А) + р/пс2 + еф}г|). (33,1)
В релятивистской энергии частицы содержится также и ее энергия покоя тс2. Для перехода к нерелятивистскому приближению она должна быть исключена, для чего вместо вводим функцию -ф' согласно
tf> = ¦ty'e-tnu?‘m.
Тогда
(/Й-^г + тс2) т|)' = |са (р —j а) + Ртс2 + еф| ф'. Представив ф' в виде V = ( ^ ) > получим систему уравнений (/А - еф) ф' = со (р - у А) х' , (33,2)
(/й "ш ~еФ + 2тс2)=са (р ~ т А)ф/ ^33,3^
(ниже будем опускать штрихи у ф и х, что не вызовет недоразумений, так как в этом параграфе мы пользуемся только преобразованной функцией -ф').
В первом приближении в левой стороне уравнения (33,3) оставляем лишь член 2/ис2х и получаем
