Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
=== {— div г — (rV) - а [гр]} -f-Qjlm = - + у g + -f а!} &цт,
где 1 —[rp] — оператор орбитального момента; штрих означает дифференцирование по г. Собственные значения произведения а 1 == 21s равны
21$=—I2—s2=/(л- ¦i)-J-{'_~\ [Z'+t
Для единообразия записи формул в обоих случаях (/ = / ± '/г) удобно ввести обозначение
/ —(/+ Vj) = —(*+ 1). j = l+4i, /ос о\
+(/+¦/.)-/. /=/-'/,. (ЭД
Число х пробегает все целые значения, исключая значение О (причем положительные числа отвечают случаю j = / — ‘/г, а от‘ рицательные — случаю / = / + у2). Тогда 1а = — (1 + «), так что
(ар) % = - (/ + g) &»т-
При подстановке этого выражения в первое из уравнений
(35,2) шаровой спинор Qцт в обеих сторонах уравнения сокращается. Поступив аналогичным образом и со вторым уравнением, получим в результате следующую систему для радиальных функций:
Г + / — (в + m — ?/) g = О,
g' + g+(e — m — U)f = 0,
или
(fr)' + 7 (\r) - (е + m - U)gr = 0, (gr)' — У (gr) + (e - m — U) fr = 0.
(35,4)
(35,5)
Исследуем поведение / и g на малых расстояниях, предположив, что поле U(г) возрастает при г-*-0 быстрее, чем 1 fr. Тогда в области малых г уравнения (35,4) принимают вид
/' + {/? = 0, g' — Uf = 0.
§35) ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ 157
Они имеют вещественные решения вида
/ = const • sin ( J U dr + б) . g = const • cos ( J U dr + б) , (35,6)
где б — произвольная постоянная. Эти функции осциллируют при г-*-0, не стремясь ни к какому пределу. Легко видеть, что такая ситуация соответствует в нерелятивистской теории «падению» частицы на центр.
Прежде всего отметим, что область малых расстояний не накладывает в этом случае ограничений на выбор решения: условие при г = 0 для осциллирующей функции отсутствует и выбор постоянной б рстается произвольным (правильного же поведения волновой функции в области больших г можно добиться при любом е надлежащим выбором б). Можно устранить эту неопределенность, рассматривая сингулярный (при л = 0) потенциал как предел при л0->-0 потенциала, «обрезанного» на некотором г0 (т. е. равного С/(г) при г > г0 и U(r0) при г < г0). При конечном г0 получается, разумеется, определенная система уровней энергии. Однако энергия основного состояния стремится к —оо при г0 —У 0.
В нерелятивистской теории это как раз и означает «падение» на центр, поскольку частица на глубоком уровне локализована в малой области вокруг г = 0. В релятивистской же теории такая ситуация вообще недопустима, так как означает неустойчивость системы относительно самопроизвольного рождения элек-трон-позитронных пар. Действительно, если в вакууме для рождения такой пары нужна энергия, превышающая 2т, то в поле достаточна уже меньшая энергия. При наличии связанного состояния электрона с энергией е < т возможно рождение пары с затратой лишь энергии е -f- т < 2т, причем рождаются свободный позитрон и электрон в связанном состоянии. Если же энергия уровня связанного состояния е < —т, то такое поле может рождать позитроны (с энергией —е > т) самопроизвольно, без затраты энергии от внешнего источника. В рассматриваемом же поле при го->-0 имеется бесконечное множество таких «аномальных» уровней се< —т. Поэтому поля с потенциалом Ф(л), возрастающим при г-*-0 быстрее, чем 1/л, в теории Дирака вообще нельзя рассматривать. Подчеркнем, что это относится к потенциалам обоего знака. «Падение» происходит, конечно, лишь в случае притяжения, но поскольку знак U = еФ зависит также и от знака заряда, то в одном случае аномально ведут себя электронные, а в другом — позитронные уровни; во втором случае поле рождает свободные электроны.
Рассмотрим далее поведение волновых функций на больших расстояниях. Если поле U (г) достаточно быстро убывает при г-*- оо, то при определении асимптотического вида волновых
158
ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
[ГЛ. IV
функций на больших расстояниях можно полностью пренебречь полем в уравнениях. При е > т, т. е. в области непрерывного спектра, мы возвращаемся тогда к уравнению свободного движения, так что асимптотическая форма волновых функций (сферических волн) отличается от таковой для свободной частицы лишь появлением дополнительных «фазовых сдвигов», значения которых определяются видом поля на близких расстояниях1). Эти сдвиги зависят от значений / и I, или^ что то же, от введенного выше числа х (а также, разумеется, и от энергии в). Обозначив их посредством бх и используя выражение свободной сферической волны (24,7), мы можем сразу написать искомую асимптотическую формулу
' ( Ve + mQjim sin (pr — + Й,Л \
\ v . (35,7)
или, с учетом определения (35,1):
g} = T?-VIfi:ci"('"'-T- + s0’ <36-8>
где р = V®2 ~ т? . Общий коэффициент здесь отвечает нормировке радиальных функций согласно (24,5).
Волновые же функции дискретного спектра (в < т) при Г -+00 экспоненциально затухают по закону
/ = — д/? == Т’ехр r Vт2 — е2)» (35,9)
где Л о—постоянная.
Как и в нерелятивистской теории, фазовые сдвиги 6Х (точнее, величины е2гб* — l) определяют амплитуду рассеяния в данном поле (об этом будет подробнее идти речь в § 37). Мы не станем исследовать здесь аналитические свойства этих величин ¦(ср. III, § 128). Отметим лишь, что e2i&K как функция энергии по-прежнему имеет полюсы в точках, соответствующих уровням связанных состояний частицы. Вычет функции еь&к в таком полюсе определенным образом связан с коэффициентом в асимптотическом выражении соответствующей волновой функции дискретного спектра. Найдем эту связь, обобщающую нерелятивистскую формулу III (128,17). Необходимые вычисления вполне аналогичны произведенным в III, § 128.
