Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
В этой главе мы рассмотрим круг задач квантовой электродинамики, ограниченный рамками теории одной частицы. Это — задачи, в которых число частиц не меняется, а взаимодействие может быть, введено при помощи понятия внешнего электромагнитного поля. Помимо условий, позволяющих рассматривать внешнее поле как заданное, пределы применимости такой теории ограничены также условиями, связанными с так называемыми радиационными поправками.
Волновое уравнение электрона в заданном внешнем поле можно получить так же, как это делается в нерелятивистской теории (см. Ill, § 111). Пусть /4^= (Ф, А) — 4-потенциал внешнего электромагнитного поля (А — векторный, Ф — скалярный потенциалы). Мы получим искомое уравнение, заменив в уравнении Дирака оператор 4-импульса р разностью р — еА, где е —
УРАВНЕНИЕ ДИРАКА ДЛЯ ЭЛЕКТРОНА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ 145
заряд частицы'):
[y(0 — еА) — m]i|) = 0. (32,1)
Соответствующий этому уравнению гамильтониан получается
путем такой же замены из (21,13):
Я = а(р — еА) + рт + еФ. (32,2)
Инвариантность уравнения Дирака при калибровочном преобразовании потенциалов электромагнитного поля выражается в том, что его вид остается неизменным, если одновременно с преобразованием ЛЛ-j-i^x (гДе Х~“ произвольная функция) преобразовать волновую функцию согласно2)
•ф -*¦ $е‘е* (32,3)
(ср. аналогичное преобразование для уравнения Шредингера III,
§111).
Плотность тока, выраженная через волновую функцию, дается той же формулой (21,11) / = что и в отсутствие внешнего поля. Легко видеть, что при повторении с уравнением
(32,1) (и написанным ниже уравнением (32,4)) тех же выкладок, которые были произведены при выводе (21,11), внешнее поле выпадает, и уравнение непрерывности оказывается справедливым для прежнего выражения"тока.
Произведем над уравнением (32,1) операцию зарядового сопряжения. Для этого пишем уравнение
Ф [Y (Р + еА) -f т) — 0, (32,4)
которое получается комплексным сопряжением из (32,1) так
же, как было получено в свое время уравнение (21,9) (при этом надо помнить, что 4-вектор Л веществен). Переписав это уравнение в виде
[у (Р + еА) + т] \j> = О,
умножив его слева на матрицу Uc и воспользовавшись соотношениями (26,3), найдем
[Y (J® + вЛ) — /и] (СЧ>) = 0. (32,5)
Таким образом, зарядово-сопряженная волновая функция
удовлетворяет уравнению, отличающемуся от исходного измене-
') Подразумевается заряд вместе со своим знаком, так что для электрона е = —|е|.
s) Преобразование (32,3) с функцией %(t,r) иногда называют «локальным калибровочным преобразованием» в отличие от «глобального калибровочного преобразования» (12,10) с постоянной фазой а.
146 ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ 1ГЛ. IV
нием знака заряда. С другой стороны, операция зарядового сопряжения означает переход от частиц к античастицам. Мы видим, что если частицы обладают электрическим зарядом, то знаки заряда электрона и позитрона автоматически оказываются противоположными.
Уравнение первого порядка (32,1)' может быть преобразовано в уравнение второго порядка путем применения к (32,1) оператора у(Р— еА)т\
[YUYV (/V — eAJ (jdv — eAj — m2] ф = 0.
Произведение заменяем на
'VV = у (YUY! + YVY**) + Y (W — YVYU) =
где — антисимметричный «матричный 4-тензор» (28,2)’. При умножении на <r^v можно произвести антисилуметризацию, т. е. заменить
(/V (Pv еА\) {(А* (A, eAv)}_ =
= у е ( АцРу -J- p^A^ Pii-^v “Ь -^v/V)1=3
== у ie (дуАц — = — -у
(Fixv = dVLAv — буЛц — тензор электромагнитного поля). В результате получим уравнение второго порядка-s виде
[(Р — eAf — m? — у ^ = 0. (32,6)
Произведение /J,M.vor^v можно записать в трехмерном виде, выразив его через компоненты
а^ = (а,?2), /^ = (-Е, Н).
Тогда
[Об-<?Л)2-т2 + <?2:Н-/<?аЕИ = 0, (32,7)
или, в обычных единицах,
[(?|---НЧ^+7а)-^+
+ — SH-1— аЕ]г|) = 0. (32,7а)
С С J
Появление в этих уравнениях членов, содержащих поля Е и Н, связано с наличием у частицы спина; мы вернемся к их обсуждению в следующем параграфе.
- Среди решений уравнения второго порядка имеются, конечно, также и «лишние», не удовлетворяющие исходному уравнению
УРАВНЕНИЕ ДИРАКА ДЛЯ ЭЛЕКТРОНА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ 147
первого порядка (32,1) (они представляют собой решения уравнения (32,1) с измененным знаком реред т). Отбор нужных решений в конкретных случаях обычно очевиден и не представляет труда. Регулярный метод отбора состоит в том, что если <р есть произвольное решение уравнения второго порядка, то решение правильного уравнения первого порядка есть
¦ф= [y(A — еА) + т]ф. (32,8)
Действительно, умножая это равенство на — еА)—т, мы видим, что правая часть обращается в нуль, если <р удовлетворяет уравнению (32,6).
Следует подчеркнуть, что способ введения внешнего поля в релятивистское волновое уравнение 'путем замены /5 на р— еА не самоочевиден, В его проведении мы по существу опирались на дополнительный принцип: указанная замена должна производиться в уравнениях первого порядка. Именно в результате этого в уравнении (32,6) появились дополнительные члены, которые не возникли бы, если бы замена была 'произведена непосредственно в уравнении второго порядка.
