Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
В состоянии частичной поляризации не существует определенной амплитуды, а лишь поляризационная матрица плотности рik (i, k == 1, 2, 3, 4 — биспинорные индексы). Определим эту матрицу таким образом, чтобы в чистом состоянии она сводилась к произведениям
Р ik = uPfipk‘ (29.0
Соответственно этому матрица р нормируется условием
Sp р = 2т (29,2)
!(ср. (23,4)).
В чистом состоянии среднее значение спина определяется величиной
® “ Т \ = -ц- «р2ы„ = йру°Ъир. (29,3)
Соответствующее выражение для состояния частичной поляризации:
s =-^-Sp(pY°2) = -^-Sp(pY5Y). (29Д)
Амплитуды ир, йр удовлетворяют системам алгебраических уравнений
(УР — пг) ир = 0, йр (ур — пг) = 0.
Поэтому матрица (29,1) удовлетворяет уравнениям
(ур — т) р = р (ур — т) = 0. (29,5)
Таким же линейным уравнениям должна подчиняться матрица плотности и в общем случае смешанного (по спину) состояния (ср. аналогичный вывод в III, § 14).
Если рассматривать свободную частицу в ее системе покоя, то к ней применима нерелятивистская теория. Но в этой теории
§29] ПОЛЯРИЗАЦИОННАЯ МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ 133
состояние частичной поляризации полностью определяется тремя параметрами — компонентами вектора среднего значения спина s (см. III, § 59). Ясно поэтому, что те же параметры будут определять поляризационное состояние и после любого преобразования Лоренца, т. е. для движущейся частицы.
Обозначим удвоенное среднее значение вектора спина в системе покоя посредством ? (в чистом состоянии |?| = 1, в смешанном |?| < 1). Для четырехмерного описания поляризационного состояния удобно ввести 4-вектор а**, совпадающий в системе покоя с трехмерным вектором ?; поскольку ? — аксиальный вектор, то — 4-псевдовектор. Этот 4-вектор ортогонален 4-импульсу в системе покоя (где = (0, ?), р^ = (т, 0)), а потому и в произвольной системе отсчета
а% = 0. (29,6)
В произвольной системе отсчета будет также и
----S2. (29,7)
Компоненты 4-вектора в системе отсчета, в которой частица движется со скоростью v = p/e, находятся путем преобразования Лоренца из системы покоя и равны
«°=^?II’ ах = ?х, *! = -?-&. (29>8)
где индексы [[ и J. означают компоненты векторов ^ и а, параллельные и перпендикулярные направлению р') . Эти формулы можно записать в векторном виде:
а — ? 4- Р (Ер) до _ JJL — я2___?2i (Р?)а. inn q\
а > + m (е + /я) * а г ~ т ' а — 6 + т2 ’
Рассмотрим сначала неполяризованное состояние (? = Q). Матрица плотности в этом случае может содержать в качестве параметров лишь 4-импульс р. Единственный вид такой
') По своим трансформационным свойствам компоненты среднего вектора спина s (как и всякого момента) являются в релятивистской механике пространственными компонентами антисимметричного тензора S^. 4-вектор а* связан с этим тензором посредством соотношений
^ i ^VP«v/>p, = -1- >VpS,vPp.
Подчеркнем, что в произвольной системе отсчета пространственная часть а 4-вектора а* отнюдь не совпадает с вектором 2s. Легко видеть, что
2sa=^-(aae-aO|p|) = Sl, 2?х = -L ахCj_.
134 ФЕРМИОНЫ [ГЛ. III
матрицы, удовлетворяющей уравнениям (29,5), есть
Р = у (?/>+¦'”) (29,10)
(И. Е. Тамм, 1930, Н. В. G. Casimir, 1933)'. Постоянный коэффициент выбран в соответствии с нормировочным условием
(29,2).
В общем случае частичной поляризации (? 0) ищем мат-
рицу плотности в виде
Р = -^(уР + 'п)р'(ур + т), (29, if)
автоматически удовлетворяющем уравнениям (29,5). При ? ф 0 вспомогательная матрица р' должна обращаться в единичную; поскольку
(ур + mf = 2т (ур + т),
(29,11) совпадет с выражением (29,10)т Далее, она должна содержать 4-вектор а линейным образом в качестве параметра,
т. е. иметь вид
р'= 1 — Ау5 (уа); (29,12)
во втором члене фигурирует скалярное произведение псевдовектора а и «матричного 4-псевдовектора» у5у. Для определения коэффициента А напишем матрицу плотности в системе покоя:
р == «_ (1 + Y°) (1 + Ау^)(\ + у°) = JjL (1 + Y0) (i + АуШ
и вычислим, согласно (29,4), среднее значение спина. Воспользовавшись перечисленными в § 22 правилами, легко найдем, что единственный отличный от нуля член в искомом следе
2s = ~ Sр (py5y) = - 4 Sp Ы) Y)=^.
Приравняв это выражение получим А = 1. Окончательное выражение для р найдем, подставив (29,12) в (29,11) и переставив множители р' и (ур + т); в силу ортогональности аир произведение ур антикоммутативно с уа:
(уа) (ур) = 2 ар — (ур) (уа) = — (ур) (уа),
а потому коммутативно с у5(уа).
Таким образом, матрица плотности частично поляризованного электрона дается выражением
P = Y(Y/> + '”)[l — у5(уа)] (29,13)
§29]
ПОЛЯРИЗАЦИОННАЯ МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ
135
'(L. Michel, A. S. Wighiman, 1955). Если матрица р известна, то характеризующий состояние 4-вектор а (а с ним и вектор ?) можно найти по формуле
^ =2^ Sp(pYV)- (29,14)
Формулы для матрицы плотности позитрона аналогичны формулам для электрона. Если бы мы описывали позитрон (с 4-импульсом р) позитронной амплитудой и^"03* и определенной в соответствии с такой амплитудой матрицей плотности р1поз), то никакого отличия от случая электрона вообще не было бы и матрица р1'поз> давалась бы той же формулой (29,13). Однако при фактических вычислениях сечений процессов рассеяния с участием позитронов приходится иметь дело (как мы увидим в дальнейшем) не ckJ1031, а с амплитудами «отрицательной частоты ы_р. Соответственно этому и поляризационную матрицу плотности (обозначим ее р(_)) следует определить так, чтобы для чистого состояния она сводилась к ы_р,ы_р*.
