Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
Если инверсия определена условием Р2 = 1, то вместо (27,1) будет
Р: 6е(27,5)
Зарядово-сопряженная же функция преобразуется при этом по закону
f-ca с с «.са
I -*-лй. *
отличающемуся от (27,5) знаком. Соответственно этому трехмерные спиноры Ф будут преобразовываться согласно
ф(»)а ф(.)'а ф(п) а _ ф(п)
так что произведение ф(э>ф<п> будет по-прежнему псевдоскаляром.
Единственное возможное различие в физических следствиях обеих концепций инверсии состоит в том, что при определении
(27,5) условие истинной нейтральности поля не было бы инвариантным относительно этого преобразования (или преобразования СР): оно меняло бы относительный знак обеих сторон равенств (27,4). Фактически истинно нейтральные частицы со спином у2 неизвестны, и в настоящее время нельзя сказать, имеет ли указанное различие в двух определениях инверсии реальный физический смысл').
Задача
Найти зарядовую четность позитрония (водородоподобная система из электрона и позитрона).
Решение. Волновая функция двух фермионов должна быть антисимметрична относительно одновременной перестановки координат, спинов и зарядовых переменных частиц (ср. задачу к § 13). Перестановка первых умножает функцию на (—1)', вторых — на (—l)1+s (где S = 0 или 1 —полный спин системы), третьих —на искомое С. Из условия(—1)* (— 1)I+SC = — I находим
C=(-I)/+s.
Поскольку внутренние четности электрона и позитрона противоположны, пространственная четность системы Р — (—1/+1. Комбинированная четность: СР = (—1)*+1.
*) Неполная эквивалентность двух определений инверсии была отмечена Рака (G. Racah, 1937),
БИЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ
127
§ 28. Билинейные формы
Рассмотрим трансформационные свойства различных билинейных форм, которые можно составить из компонент функций г]з и г|з*. Такие формы вообще имеют большое значение в квантовой механике; к их числу относится и 4-вектор плотности тока
(21,11).
Поскольку \|з и г]з* имеют по четыре компоненты, из них можно составить 4-4 = 16 независимых билинейных комбинаций. Классификация этих величин по их трансформационным свойствам очевидна из перечисленных в § 19 способов перемножения двух произвольных биспиноров (которыми в данном случае являются и \|)*). Именно, можно составить скаляр (обозначим его 5), псевдоскаляр (Р), смешанный спинор второго ранга, эквивалентный истинному 4-вектору V(четыре независимых величины), смешанный спинор второго ранга, эквивалентный 4-псев-его S), псевдоскаляр (Р), смешанный спинор второго ранга, эквивалентный антисимметричному 4-тензору 7>v (шесть величин).
В симметричном виде (для любого представления г]з) эти комбинации записываются следующим образом:
5 = -ф-ф, Р = /¦фу5'ф,
T'v'v = /фсг^'ф,
где
o^v = -j (yV — YVY“) = («, Щ
(перечисление компонент в (28,2) по (19,15))'). Все написанные выражения вещественны.
Скалярность и псевдоскалярность величин S и Р очевидна из их спинорного представления:
5 = Гп + тГ1> Р - i (Гл — Л*!)-
что как раз соответствует выражениям (19,7) и (19,8). Векторный характер величин очевиден после этого из уравнения Дирака: умножив равенство = m'*tl слева на -ф, получим
(#nY^) = пг^;
поскольку справа стоит скаляр, скаляром должно быть и выражение в левой части.
Правило составления величин (28,1) очевидно: они составляются так, как если бы матрицы у11 образовывали 4-вектор, у5
') При унитарном преобразовании (изменений представления) имеем: ¦ф-^t/il), у-+1/уи~1, ij)->¦ фЕ/-1,
и инвариантность билинейных форм при таких преобразованиях очевидна.
(28,1)
(28,2)
128 фермионы [гл. hi
было псевдоскаляром, а стоящие с обеих сторон \j) и \|э образовывали вместе скаляр1). Отсутствие билинейных форм, которые имели бы характер симметричного 4-тензора, очевидное из спи-норного представления, ясно и из этого правила: поскольку симметричная комбинация матриц -f- yvy,1 = 2g^v, то такая форма свелась бы к скаляру.
Вторично-квантованные билинейные формы получаются заменой в (28,1) ^-функций ^-операторами. Для большей общности будем считать, что два ^-оператора относятся к полям различных частиц; будем различать их индексами а и Ь. Выясним, как преобразуются такие операторные формы при зарядовом сопряжении. Замечая, что 2)
$С = ?/<Д Iе = ?/+*, (28,3)
имеем, используя (26,3) и (26,21):
= %исиЛь = - %иРиЛь = ~
= ^а^сУ^С^Ь = - •
При перестановке операторов к исходному порядку (¦ф слева
от rjj) в силу правил коммутации Ферми (25,4) изменится знак произведения (и, кроме того, появятся члены, не зависящие от состояния поля, которые опускаем, как и при аналогичных выводах в § 13). Таким образом, получим
Преобразовав аналогичным образом также и остальные формы, найдем, что при зарядовом сопряжении3)
Sab -> Sba, Pab Pba, Vab -> — ^ia.
С: (28,4)
A v-.^A ? — 7fv
-^1 ab * nbciy * ab * * ba*
*) «Псевдоскалярность» \6 сама соответствует этим правилам, поскольку
г) Для получения второго равенства из первого пишем VС = [Uс ('Ь°')] Y° = y0Ucy4 = - V°t/cV°4> = yV*?/? Ф =
(использованы (26,3), (26,21) и эрмитовость у0)-
3) Обратим внимание на то, что для билинейных форм, составленных из ф-функций (а не ф-операторов), преобразования (28,4) имели бы обратный знак, поскольку возвращение к исходному порядку множителей фиф не сопровождалось бы изменением знака.
