Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
§ 28] БИЛИНЕЯИЫЕ ФОРМЫ ‘ 129
Аналогичным образом выясняется поведение тех же форм при обращении времени. При этом надо помнить^ (см. § 13), что эта операция связана с изменением порядка расположения операторов, и поэтому, например,
Подставив сюда
= UTty, (28,5)
получим
= =^'ф<г
Рассмотрев таким же образом остальные формы, найдем
Sab->Sba, РаЬ->-Рьа, (V°,\)ab->(VQ, ~\)Ьа,
Т: (28,6)
• {А °. &)аЬ -> (А °, — А )Ьа, Tab = (р, а)а4 —> (р, &)ba
(р, а — трехмерные векторы, эквивалентные компонентам согласно (19,15)).
При пространственной же инверсии, в соответствии с тензорным характером величин '),
5aj->5ai, Раь~> —Рab> (v°t V)aj—>(^°, —\)аь,
Р: (28,7)
(Л°, \)аЬ-> (- А0, \)аЬ, Щ = (р, -> (-р, ?)аЬ.
Наконец, совместное применение всех трех операций оставляет все Sab, Раь, Tab неизменными и меняет знак всех У*ь, Ааь, что как раз соответствует смыслу этого преобразования как 4-ин-версии: поскольку 4-инверсия эквивалентна повороту 4-системы координат, то по отношению к ней нет разницы между истинными и псевдотензорами любого ранга.
Рассмотрим попарные произведения билинейных форм, составленных из четырех различных функций i|;a, i|jc, Мы получим различные результаты в зависимости от того, какие пары этих функций перемножаются между собой. Оказывается, однако, возможным свести всякое такое произведение к произве-
’) Во избежание недоразумений напомним, что преобразования Т и Р требуют также изменения аргументов функции; правые стороны (преобразованные формы в (28,6—7))—функции соответственно от
хТ = (— /, г), хр = (/, — г),
если левые стороны — функции от х = (/, г).
130 ФЕРМИОНЫ {ГЛ. Ill
дениям билинейных форм с фиксированными парами множителей (1У\ Pauli, М. FJerz, 1936). Выведем соотношение, лежащее в основе такого приведения.
Рассмотрим совокупность четырехрядных матриц
1 ,Vs. f, (28,8)
(1 — единичная матрица ). Перенумеровав эти 16 (= 1 1 + 4 •+•
-f 4 -f 6) матриц в какой-либо определенной последовательности, обозначим их посредством у4 (А == I, ..., 16), а те же матрицы с опущенными 4-тензорными индексами (|i, v) посредством ул-Они обладают следующими свойствами:
8рул = 0 (ул=И=1), (28,9)
В силу последнего из этих свойств матрицы у-4 линейно независимы. Поскольку же их число равно числу (4-4) элементов четырехрядной матрицы, матрицы ул составляют полную систему, по которой может быть разложена произвольная четырехрядная матрица Г:
Г = cA = ±SpVAr, (28,10)
А
или в раскрытом виде с матричными индексами (г, k — 1, 2,3,4)’:
4" 2 ^Im^mi^Alk'
А
Предположив, в частности, что матрица Г содержит всего один отличный от нуля элемент (Г/т), получим искомое соотношение («условие полноты»)
Ьц^Ып ~Т У! Ул1ьУт1' (28,11)
А
Умножая это равенство с обеих сторон на имеем
фV) (ФУ) - т ? (^У). (28,12)
А
Это — одно из равенств указанного выше типа: оно сводит произведение двух скалярных билинейных форм к произведениям форм, составленных из других пар множителей *).
') Напомним во избежание недоразумений, что здесь имеются в виду формы, составленные из ^-функций. Для форм, составленных из антином-мутируюших ^-операторов, знак преобразования был бы обратным.
i 28] БИЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ 131
Другие равенства этого типа можно получить из (28.12), заменяя
•ф1* —> ф* —> Y0^6
и пользуясь разложением
YV = ? =* j Sp yVy«
я
(см. задачу).
Укажем здесь для дальнейших ссылок также и аналогичное
(28,11) соотношение для двухрядных матриц. Полную систему линейно независимых двухрядных матриц оА (Л — 1, ,,,, 4) составляют
1, ах, ау, аг. (28,13)
Для них
Sp<r4 = 0 (аА ф 1)’ ^ Sp аАав = 6АВ. (28,14)
Условие полноты:
®ау®Р« ~ Т XI аарабу = ~2 °ара6у Y ^ар^ву ^
А
(а, р,,.. = 1, 2) или иначе:
1 3
^ар^бу === ~2 ^оу^бр ”Ь ~2 ^яу^бр' (28,16)
Задача
Вывести формулы, аналогичные (28,12), для скалярных произведений двух билинейных форм Р, V, А, Т.
‘Решение. Обозначим:
Js = (ijj'V) №V), h — ('t’VV’) №W*).
h = (’i’VV) (?y^d). JA = (^Y^yV) (^YnYV*).
]т = (\j>“taM,v\|>6) (4>c*aliv'|)'f),
а теми же буквами со штрихом — такие же произведения с переставленными и г})1*. Указанным в тексте способом получим:
4 As = ^5+ + •/г + •^Л’Ь 1р<
4/у = 4/$— 2/у "Ь 2/^—4/р,
4/у = 6/ j — 2 / j -j- 6 / р,
4Jд = 4Js2Jy —21а — 4/р,
4/р *=> /5 — /р + /у —
(первая строка —по формуле (28,12)).
132
ФЕРМИОНЫ
[ГЛ. III
§ 29. Поляризационная матрица плотности
Координатная зависимость волновой функции if, описывающей свободное движение с импульсом р (плоская волна), сводится к общему множителю eit>r, а амплитуда ир играет роль спиновой волновой функции. В таком (чистом) состоянии частица полностью поляризована (см. III, § 59). В нерелятивистской теории это означает, что спин частицы имеет определенное направление в пространстве (точнее, существует такое направление, вдоль которого проекция спина имеет определенное значение + V2). В релятивистской теории такая характеристика состояния в произвольной системе отсчета невозможна ввиду (отмеченного уже в § 23) несохранения вектора спина. Чистота состояния означает лишь, что спин имеет определенное направление в системе, покоя частицы.
