Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
Согласно (26,1) позитронная амплитуда ы<,поз) = ?/сы_р. Обратно:
и-Р = ^с«Г3)> = UcuT] = иТЮс
(ср. (28,3)). Если
РЙ03*=иТ]Кьоз:•
то с помощью этих формул получим
р(-) = ис^поз)и*с. (29,15)
Подставляя сюда для р<поз> выражение (29,13) и производя (с помощью (26,3), (26,21)) простые преобразования, получаем
P(_) = Y (YP —«Ш — Y5 (Y«)l - (29,16)
В частности, для неполяризованного состояния
P(->=y(Y Р-ш). (29,17)
В дальнейшем, говоря о позитронных матрицах плотности, мы будем иметь в виду матрицы р1-> и индекс (—) у них будем опускать (матрицами же р1поз> фактически не приходится пользоваться). v
В различных вычислениях нам часто придется усреднять по спиновым состояниям выражения вида UFu( = UiFikuk), где F некоторая (четырехрядная) матрица, а и — биспинорная амплитуда состояния с определенным 4-импульсом р. Такое усредне-
136
ФЕРМИОНЫ
[ГЛ. ш
ние эквивалентно замене произведений unfit матрицей плотности р&, частично поляризованного состояния.
В частности, полное усреднение по двум независимым спиновым состояниям эквивалентно переходу к неполяризованному состоянию; при этом согласно (29,10) имеем
j ? upFup = ±-Sp(yp + m)F.- (29,18)
поляр
Аналогично для волновых функций отрицательной частоты
у u_pFu_p = у Sp (у/? — m) /\ (29,19)
поляр
Если речь идет не об усреднении, а о суммировании по спиновым состояниям — результат в два раза больше.
Проследим, каким образом матрица плотности (29,13) переходит в пределе в свое нерелятивистское выражение. Для этого перейдем к системе покоя электрона. В стандартном представлении волновых функций амплитуды ир в этой системе становятся двухкомпонентными; вместе с ними должна стать двухрядной матрица плотности. Действительно, в системе покоя имеем
P = -f:(Y0+l)(l + Y5va и с помощью выражений матриц у (21,20) и (22,18) находим
Р=(Р0Р S)' .fcp“«(! + <*) (29>2°)
'(нули обозначают двухрядные нулевые матрицы). Если принять обычную в нерелятивистской теории нормировку матрицы плотности на 1 (Sp рнр = 1) вместо нормировки на 2т, то это выражение надо будет разделить на-2 т, так что получится
у(1 + сI»
в согласии с III (59,6).
Аналогичным образом нерелятивистский предел позитронной матрицы плотности:
P==(S °р„р)’ Рнр=-«(1 + <*).
Наконец, напишем упрощенное выражение матрицы плотности в ультрарелятивистском случае. Положив в (29,8) |р| fa е ;(тем самым мы пренебрегаем величинами относительной малости (т/г)2), подставив эти выражения в (29,13) или (29,16) и
§ 30] ДВУХКОМПОНЕНТНЫЕ ФЕРМИОНЫ 137
выбрав направление р в качестве оси х, запишем
P^y[e(Y° — Y’)±m][l — у5 (~~(y° — y')?ii — 6xVx)]>
где верхний знак относится к случаю электрона, а нижний — к случаю позитрона. При раскрытии произведения главные члены в нем выпадают, а члены следующего порядка дают
p = Y6(y0 — y’)[i + Y5 (± ?li + 5±Yx)1
или, при записи е(7° — у1) в виде ур:
P = y(YP)[1+Y5(±?ii + 5±Yx)]. (29,21)
Это и есть искомое выражение матрицы плотности в ультра-релятивистском случае. Обратим внимание на то, что все компоненты вектора поляризации ? входят в него равноправно как члены одного порядка величины. Напомним, что ?ц есть компонента этого вектора, параллельная (при ?ц> 0) или антипа-
раллельная (?в < 0) импульсу частицы. В частности, для спирального состояния частицы ?ц = 2А = ± 1; при этом матрица плотности принимает особенно простой вид:
P = Y (\Р) (1 ± 2AY5), (29,22)
совпадающий, как и должно быть, с видом матрицы плотности нейтрино или антинейтрино — частицы с нулевой массой и определенной спиральностью (см. § 30).
§ 30. Двухкомпонентные, фермионы
Мы видели в § 20, что необходимость описания частицы со спином у2 двумя спинорами (| и г]) связана с массой частицы. Эта причина отпадает, если масса равна нулю. Волновое уравнение, описывающее такую частицу, может быть составлено с помощью всего одного, скажем пунктирного, спинора тр
0в% = °* (30,1)
или, что то же,
(А) + Р<г) Ц = 0. (30,2)
В § 20 было также отмечено, что волновое уравнение, содержащее массу т., автоматически оказывается симметричным по
отношению к инверсии (преобразование (20,4)). При описании же частицы одним спинором эта симметрия теряется. В ней, однако, нет необходимости, поскольку симметрия по отношению к инверсии не является универсальным свойством природы.
138
ФЕРМИОНЫ
[ГЛ. Ill
Энергия и импульс частицы с т = 0 связаны соотношением
8 = | р |. Поэтому для плоской волны (rip оо е~1рх) уравнение
(30,2) дает ,
(по) 'Пр = — Л/» (30,3)
где п — орт вектора р. Такое же уравнение
(по)л_р = —Л_р (30,4)
имеет место и для волны с «отрицательной частотой» (т)_р рд ooeipx).
Вторично квантованный \|)-оператор:
Л = Е (лрйр + ), л+ = ? (тДО + Л*_р^р). (30,5)
р р Отсюда, как обычно, следует, что г\_р— волновое функции античастицы.
Из определения операторов ра& (20,1) видно, что ра&' = — р&&. Поэтому комплексно-сопряженный спинор rj* удовлетворяет уравнению /)4рЛ?=-01 или, что то же,
/V1** = 0.
Обозначим т/* = ?&, выразив этим тот факт, что комплексное сопряжение превращает пунктирный спинор в непунктирный. Таким образом, волновые функции античастицы удовлетворяют уравнению
