Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
§ 31. Волновое уравнение для частицы со спином 3/2
Частица со спином 3/2 описывается в своей системе покоя симметричным 3-спинором третьего ранга (с 2s + 1 = 4 независимыми компонентами). Соответственно в произвольной системе
отсчета в ее описании могут участвовать 4-спиноры ?а^, T]4pv
«.aflv о
и ъ , ХЛ0у> каждый из которых симметричен по всем одинаковым (пунктирным или непунктирным) индексам; при инверсии спиноры в первой и во второй паре переходят друг в друга.
Для того чтобы в системе покоя 4-спиноры ?a^v и переходили в 3-спиноры, симметричные по всем трем индексам, они должны удовлетворять условиям
Р = Т (1 + Y5).(YP) (1 — Y8) = у (1 + Y5) (YP). (30,18)
Л«,=°. 'А,*?*-о.
(31,1)
142
ФЕРМИОНЫ
[ГЛ. пг
Действительно, в системе покоя
(как это видно из (20,1))’. Поэтому условия (31,1) приводят к равенствам
6gti'aPv = 0, 65i'a„v = 0,
где буквы со штрихом обозначают соответствующие 3-спиноры; другими словами, эти спиноры дают нуль при упрощении по индексам оф, а это и означает, что они симметричны по этим индексам, а потому и по всем трем индексам.
Дифференциальная связь между спинорами | и т) устанавливается соотношениями
(31,2)
Симметричность левых сторон этих уравнений (по индексам р,
Y или а, б) обеспечивается условиями (31,1), в силу которых они обращаются в нуль при упрощении по всем индексам. В системе покоя 3-спиноры %' и х\' в силу уравнений (31,2) совпадают. Исключив из уравнений (31,2) т] или |, найдем, что каждая из компонент спиноров | и т] удовлетворяет уравнению второго порядка
(р2-пг)1а^=0. (31,3)
Совокупность уравнений (31,1—2) составляет полную систему волновых уравнений для частицы со спином V21). Добавление спиноров ?, х не привело бы ни к чему новому. Они строятся согласно
m?aPv _ ра*г\1У, тхт = РмЩг
Уравнения частиц со спином 3/2 могут быть сформулированы Также и в ином виде, в котором используются векторные аспекты свойств спиноров (W. Rarita, J. Schwinger, 1941; А. С. Давыдов, И. Е. Тамм, 1942). Паре спинорных индексов ар сопоставляется один четырехмерный векторный индекс ц. Поэтому
компонентам спинора третьего ранга можно привести в соответствие компоненты «смешанных» величин ^ с одним векторным и одним спинорным индексом. Аналогично, спинору tj&“v ставятся в соответствие величины i|)V, а совокупности обоих спиноров — «векторный» биспинор ajjp, (биспинорный индекс не выписываем). Волновое уравнение запишется тогда в виде
') О лагранжевой формулировке этих уравнений см. указанную на с, 77. статью Фирца и Паули.
ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ 3/2
143
«уравнения Дирака» для каждой из векторных компонент г)^:
(YJ0 — т) г|>,* = 0 (31,4)
с дополнительным условием
— 0. (31,5)
Используя выражения для матриц у11 в спинорном представлении и формулы связи между компонентами спинора и вектора
(18,6—7), легко убедиться в том, что уравнения (31,2) содер-
жатся в (31,4), а условие (31,5) эквивалентно условию симметричности спиноров и по индексам ру или PY- Умножив уравнение (31,4) на получим ввиду (31,5)
Y'Wv’tV = 0
или, воспользовавшись правилами коммутации матриц -у»1,
2^v+|l-VvjftvV1+P = 0. (31,6)
Второй член снова обращается в нуль в силу (31,5), а первый дает
^ = 0. (31,7)
Легко видеть, что это условие, автоматически следующее из (31,4—5), эквивалентно условиям (31,1).
Наконец, еще один способ формулировки волнового уравнения состоит во введении величин .фш (*\ К /=1, 2, 3, 4) с
тремя биспинорными индексами, по которым фш симметричны (V. Bargmann, Е. P. Wigtier, 1948). Совокупность этих величин эквивалентна совокупности компонент всех четырех спиноров |, г), ?, х- Волновое уравнение записывается в виде системы «уравнений Дирака»
(31 >8)
Легко видеть, что эти уравнения уже приводят к нужному числу (четыре) независимых компонент г|?ш, и постановка дополнительных условий не требуется. Действительно, в системе покоя
(31,8) сводятся к равенствам
Y =
в силу которых обращаются в нуль (в стандартном представлении ) все компоненты с i, k, 1 = 3, 4, т. е. сводятся к компонентам 3-спинора третьего ранга.
Изложенные результаты очевидным образом обобщаются для частиц с любым полуцелым спином s. При описании уравнениями вида (31,4—5) волновая функция будет симметричным 4-тензором ранга (2s—1)/2 с одним биспинорным индексом. При описании же уравнениями вида (31,8) волновая функция будет иметь 2s биспинорных индексов, по которым она симметрична.
ГЛАВА IV
ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
§ 32. Уравнение Дирака для электрона
во внешнем поле
Волновые уравнения свободных частиц по существу выражают собой лишь те свойства, которые связаны с общими требованиями пространственно-временной симметрии. Происходящие же с частицами физические процессы зависят от свойств их взаимодействий.
Описание электромагнитных взаимодействий частиц в релятивистской квантовой теории оказывается возможным путем обобщения способа, применяемого дл5Г этой цели в классической и нерелятивистской квантовой теориях.
Этот метод, однако, применим для описания электромагнитных взаимодействий лишь частиц, не способных к сильным взаимодействиям. Сюда относятся электроны (и позитроны) и, таким образом, для существующей теории оказывается доступной вся огромная область квантовой электродинамики электронов. Не способны к сильным взаимодействиям также и нестабильные частицы — мюоны; они описываются той же квантовой электродинамикой в области явлений, происходящих за времена, малые по сравнению с продолжительностью их жизни.(связанной со слабыми взаимодействиями).
