Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
ТОНКАЯ СТРУКТУРА УРОВНЕЙ АТОМА ВОДОРОДА
153
§ 34. Тонкая структура уровней атома водорода
Определим релятивистские поправки к уровням энергии атома водорода — электрона в кулоновом поле неподвижного ядра1). Скорость электрона в атоме водорода v/c ~ а<^ 1. Поэтому искомые поправки можно вычислить путем применения теории возмущений — как среднее по невозмущенному состоянию (т. е. по нерелятивистской волновой функции) от релятивистских членов в приближенном гамильтониане (33,12). Для несколько большей общности положим заряд ядра равным Ze, предполагая при этом, однако, что и Za <^1.
Напряженность поля ядра E = Zer/r3, а его потенциал удовлетворяет уравнению ДФ = —4nZe6(r). Подставив это в (33,12) (последние три члена), с учетом отрицательности заряда электрона получим оператор возмущения
Поскольку согласно нерелятивистскому уравнению Шредин-гера
^ео = —mZia2/2n2 — невозмущенный уровень, п — главное квантовое число), среднее значение
Эта величина, как и среднее значение второго члена в (34,1), вычисляется с помощью формул (см. III, § 36)
Наконец, усреднение третьего члена производится с помощью формул
•) Влияние движения ядра на значения этих поправок представляет собой эффект более высокого порядка малости, которым мы здесь не интересуемся.
(34,1)
р2г|> = 2 т(е0 + -^-)г|>
р4 = 4т2 (е0 + У.
(последняя относится к 0); собственное значение
0, / = 0.
(34,3)
154
ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
[ГЛ, IV
Результат простого вычисления с использованием написанных формул может быть представлен во всех случаях (при всех j и /) в виде
Формула (34,4) и дает искомую релятивистскую поправку к энергии водородных уровней — энергию тонкой структуры1). Напомним, что в нерелятивистской теории имеет место как вырождение по направлениям спина, так и кулоново вырождение по/. Тонкая структура (спин-орбитальное взаимодействие) снимает это вырождение, но не полностью, — остаются двукратно взаимно вырожденными уровни с одинаковыми п, /, но разными I = j ± 1/2 (невырожденными оказываются при этом лишь уровни с наибольшим возможным при заданном п значением / — = /шах = /max + 1/г = п — 1/2). Таким образом, последователь-йость водородных уровней с учетом тонкой структуры такова;
Уровень с главным квантовым числом п расщепляется на п компонент тонкой структуры.
Напомним, что в нерелятивистской механике «случайное» вырождение уровней энергии в кулоновом поле связано с существованием специфического для этого поля закона сохранения: сохраняется величина А, оператор которой
(см. III (36,30)). Со специфическим законом сохранения связано и остающееся в релятивистском случае двукратное вырождение: гамильтониан уравнения Дирака Я = ор + Pm — е2/г коммутативен с оператором
(М. Н. Johnson, В. A. Lippmann, 1950). В нерелятивистском пределе этот оператор 7-»- 2А.
*) Эта формула (как и более точная формула (36,10)) была получена Зрммерфельдом (A. Sommerfeld) аз старой теории Бора еще до создания квантовой механики.
1%;
2s./a, 2р./„ 2/>у,;
3«у„ 3рч„ Зр>/„ 3d*/,, 3d?./,.
7== Т 2+ lb Р &+
ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ
155
Мы увидим в дальнейшем (§ 123), что это оставшееся вырождение снимается так называемыми радиационными поправками (лэмбовский сдвиг), не учитываемыми уравнением Дирака одноэлектронной задачи.
Забегая вперед, укажем уже здесь, что по порядку величины эти поправки ~mZ4a6 In (1/a). Поправка же второго порядка по спин-орбитальному взаимодействию была бы ~/n(Za)6, так что ее отноение к радиационным поправкам ~Z2a/ln(l/a). Для водорода (Z = 1) это отношение заведомо мало, и потому задача о точном решении уравнения Дирака в этом случае не имеет смысла. Эта задача, однако, может иметь смысл для уровней энергии электрона в поле ядра с большим Z (см. § 36).
§ 35. Движение в центрально-симметричном поле
Рассмотрим движение электрона в центрально-симметричном электрическом ноле.
Поскольку при движении в центральном поле сохраняются момент и четность (относительно центра поля, выбранного в качестве начала координат), к угловой зависимости волновых функций такого движения относится все сказанное в § 24 по поводу сферических волн свободных частиц. Меняются лишь радиальные функции. Соответственно 'этому будем искать волновую функцию стационарных состояний (в стандартном представлении) в виде
/ f (r) &jlm \
ii'pil ), (35,1)
Ч(-1) 2 g{r)QtymJ
где l=j± х/2, I' = 2j — l, а степень— 1 введена для упрощения последующих формул.
Уравнение Дирака в стандартном представлении дает следующую систему уравнений для ф и
(г — т — и)ц> = стрх, + т — и)% = ащ, (35,2)
где U (л) = еф (л) — потенциальная энергия электрона в поле. Вычисление результата подстановки сюда выражений (35,1) сводится к вычислению правых сторон этих уравнений.
Выражая шаровой спинор Q/rm через Qцт согласно
й/i'm = & * ^ Qtjlm
(см. (24,8)), пишем:
(op) X= — i (op) (or) -у Qjlm.
156- ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ [ГЛ. IV
Преобразовав теперь произведение (ар)(аг) с помощью формулы
(33,5), найдем после раскрытия векторных операций
(ар) X = — i {рг + /а [рг]} jr Qjt т =
