Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
<33.0
(отметим, что х ~ ф/с). Подстановка этого выражения в (33,2 J дает
[in j- _ еф) ф = _L (а (р _ ± а) )2ф.
Для матриц Паули справедливо соотношение
(era) (orb) = ab + la [ab], (33,5)
*) В этом параграфе пользуемся обычной системой единиц.
150 ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ 1ГЛ. IV
где а, b — произвольные векторы (см. (20,9)). В данном случае а = Ь = р — у А, но векторное произведение [аЪ] не обращается в нуль в силу некоммутативности р и А:
[(р - 7 А) (р - 7 А)] Ф=i ~ {[А’Ч + [VA]} ф = / 4 rot А . ф. Таким образом,
(а (р ~ 7 А))2 = (р — 7 А)2 — -7- лН (33,6)
(где H=rotA — магнитное поле), и для ф получается уравнение
= Я(р=[i (р - т А)2 +еФ ~.ш аН]ф- (33>7)
Это — так называемое уравнение Паули. Оно отличается от нерелятивистского уравнения Шредингера наличием в гамильтониане последнего члена, который имеет вид потенциальной энергии магнитного диполя^во внешнем поле (ср* III, § 111). Таким образом, в первом (по 1/с) приближении электрон ведет себя как- частица, обладающая наряду с зарядом также и магнитным моментом:
^=--^7 йв. (33,8)
При этом гиромагнитное отношение (е/тс) двое больше, чем это было бы для магнитного момента, связанного с орбитальным движением1).
Плотность р = = ф*ф + В первом приближении вто-
рой член должен быть отброшен, так что р = |ф|2, как и должно быть для шредингеровского уравнения.
Плотность же тока:
j = с'ф’а'ф = с (ф*о% + х’оф).
Согласно (33,4) подставляем сюда
* = 1?Га inv ~ 7 А) *Р. X* = аЬ {inv ~ТА) <Р*а>
а произведения, содержащие по два множителя ст, преобразуются с помощью формулы (33,5), представленной в виде
(ста) ст = а + i [ста], ст (ста) = а + * [ас]. (33,9)
*) Этот замечательный результат был получен Дираком в 1928 г. Двухкомпонентная волновая функция, удовлетворяющая уравнению (33,7), была введена Паули (1927) еще до открытиа Дираком его уравнения.
*33) РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СТЕПЕНЯМ 1/е 151
В результате получается
1 = (фУф* — ф*Уф) — 1п? Аф ф + in rot (ф*аф)> (33>10)
в согласии с выражением III (115,4) из нерелятивистской теории.
Найдем теперь второе приближение, продолжив разложение до членов ~ 1/с21). Будем предполагать при этом, что имеется только электрическое внешнее поле (А = 0).
Прежде всего замечаем, что с учетом членов ~ 1/с2 плотность
Р = 1Ф I2 +1XI2 = 1Ф ? + 4^?1 oVtp |2.
Это выражение отличается от шредингеровского. Имея в виду найти (во втором приближении) волновое уравнение, аналогичное уравнению Шредингера, мы должны ввести вместо ф другую ,(двухкомпонентную) функцию <рШр, для которой сохраняющийся
во времени интеграл имел бы вид ^ |фшр12^3*, как это должно
быть для уравнения Шредингера.
Для нахождения требуемого преобразования пишем условие
\ ФшрФшр <?х = J {ф’ф + (Уф’ ‘ 0) (<ТУф)} а'Х
и производим интегрирование по частям:
^ (Уф* • а) (аУф) d3x = — J ф* (<xV) (<xV) ф <flx = — ^ Ф* Аф d?x (или то же с переставленными ф и ф'). Таким образом,
\ ФшрФшр \ {ф*ф - -дат (Ф* Аф + Ф Аф*)} срх,
откуда видно, что
фшр = (l + 8,^2 ) Ф. Ф =(l — 8^2С2 )фШр- (33,11)
Для упрощения записи будем считать, что состояние стационарно, т. е. заменим оператор ih d/dt энергией е (с вычтенной энергией покоя). В следующем (после (33,4)) приближении имеем из (33,3):
Х = ^(1 --Ч^)(аР)ф-
Это выражение надо подставить в (33,2), после чего заменить <р на фшР согласно (33,11), опуская все время члены более высо-
Ниже следуем методу В. Б. Берестецкого и Л, Д. Ландау (1949),
152 ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ [ГЛ. IV
кого порядка, чем 1/с2. После простого вычисления получим уравнение для фшр в виде ерШР = ЯфШр, где гамильтониан
й-& +еф - W+ ТИг{<»Йф<‘’Р)-Т<Рф + фР!<}'
Выражение в фигурных скобках преобразуется с помощью формул
(ар) Ф (ар) = Фр2 + (арФ) (ар) = Фр2 + ift (аЕ) (ар), р2ф _ фр2 = _ й2 ДФ + 2/fiEp,
где Е = — ?Ф — электрическое поле. Окончательное выражение для гамильтониана:
Я-^- + еФ-1^-1^г.[ЕЙ-5^тШуЕ. (33,[2)
Последние три члена—искомые поправки порядка 1/с2. Первый из них — следствие релятивистской зависимости кинетической энергии от импульса (разложение разности с д/р2 + т2с2 — тс2). Второй член, который может быть назван энергией спин-орби-тального взаимодействия, — энергия взаимодействия движущегося магнитного момента с электрическим полем1). Последний
же член отличен от нуля только в тех точках, где находятся
заряды, создающие внешнее поле; так, для кулонова поля точечного заряда Ze: ДФ = —4nZe6(r) (С. G. Darwin, 1928).
Если электрическое поле центрально-симметрично, то
с г dO
Е = ~тчг
и оператор спин-орбитального взаимодействия можно представить в виде
6fi г ^"i dФ dU Гл /оо I о\
4m2c2r ° ~2Г = 2mVr ~df S* (33,13)
Здесь 1 — оператор орбитального момента, s = V2O — оператор спина электрона, U = еФ — потенциальная энергия электрона в поле.
*) Введя магнитный момент (33,8) и скорость v = p/m, получим эту энергию в виде —ИЕу]. На первый взгляд этот результат может показаться неестественным, так как при переходе в систему отсчета, движущуюся вместе с частицей, возникает магнитное поле Н = — [Ev], в котором
магнитный момент должен был бы иметь энергию — Ц.Н. В действительности появление множителя '/г («томасовская половинка», L. Thomas, 1926) связано с общими требованиями релятивистской инвариантности в сочетании со специфическими свойствами электрона как «спинорной» частицы с присущим ей значением гиромагнитного отношения (см. § 41).
